Isomorphismus, Automorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Sa 10.11.2012 | | Autor: | diab91 |
Hallo,
ich würde gerne folgendes zeigen:
Seien G,H zwei Gruppen welche zueinander isomorph sind. Dann gilt:
Isom(G,H) [mm] \cong [/mm] Aut(H).
Nun habe ich mir dazu überlegt:
Sei b:H [mm] \to [/mm] G ein Isomorphismus, beliebig aber fest. Nun müsste doch eigentlich
f: Isom(G,H) [mm] \to [/mm] Aut(H), a [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ [/mm] b ein Isomorphismus sein.
f ist jedenfalls schon mal bijektiv mit Umkehrabbildung
[mm] f^{-1}: [/mm] Aut(H) [mm] \to [/mm] Isom(G,H), c [mm] \to c\circ b^{-1}. [/mm] Mir macht allerdings der Nachweis das es sich um einen Homomorphismus handelt zu schaffen. Die Komposition von Funktionen ist i.A nicht kommutativ. f(x [mm] \circ [/mm] y) = (x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] b und f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) = (x [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] b). Wie kann ich nun nachweisen das f(x [mm] \circ [/mm] y) = f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) ist? Definitions- und Wertebereich stimmen schon mal überein. Aber wie zeige ich das es sich tatsächlich um die gleiche Funktion handelt?
Liebe Grüße,
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 10.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo diab91,
> Isom(G,H) [mm]\cong[/mm] Aut(H).
Isom(G,H) ist (unter der Verkettung) überhaupt keine Gruppe, da sich Abbildungen [mm] $G\to [/mm] H$ (im Falle [mm] $G\not=H$) [/mm] nicht verketten lassen. Also kann man Isom(G,H) [mm]\cong[/mm] Aut(H) nur im Sinne der Existenz einer Bijektion zwischen den beiden Mengen interpretieren. Und das hast du ja bereits gezeigt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 10.11.2012 | | Autor: | diab91 |
Oh, ok. Da hast du natürlich recht. Vielen Dank :)
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