Isomorphismus Dualräume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Do 04.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | Ist [mm] $T:X\rightarrow [/mm] Y$ ein isometrischer Isomorphismus zwischen zwei normierten Räumen, so ist [mm] $T':Y'\rightarrow [/mm] X'$ ebenfalls ein isometrischer Isomorphismus. Sind $X$ und $Y$ Banachräume, so gilt auch die Umkehrung. |
Hi,
kann mir jemand sagen, wie ich mir die Abbildung $T'$ vorstellen muss? Ich weiß nicht, wie ich sie auf $T$ zurückführen kann, um die Voraussetzungen einzubringen. Danke,
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Fr 05.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ist [mm]T:X\rightarrow Y[/mm] ein isometrischer Isomorphismus
> zwischen zwei normierten Räumen, so ist [mm]T':Y'\rightarrow X'[/mm]
> ebenfalls ein isometrischer Isomorphismus. Sind [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> Banachräume, so gilt auch die Umkehrung.
> Hi,
>
> kann mir jemand sagen, wie ich mir die Abbildung [mm]T'[/mm]
> vorstellen muss? Ich weiß nicht, wie ich sie auf [mm]T[/mm]
> zurückführen kann, um die Voraussetzungen einzubringen.
Schau dir doch mal die Definition an.
Oder mal einfach, was Sinn machen koennte: wenn du ein Element $f$ aus $Y'$ hast, also eine stetige Linearform $f : Y [mm] \to \mathbb{K}$, [/mm] und du willst daraus ein Element aus $X'$ machen, also eine stetige Linearform $X [mm] \to \mathbb{K}$, [/mm] was kannst du machen wenn du eine stetige lineare Abbildung $T : X [mm] \to [/mm] Y$ hast? Natuerlich verketten: $f [mm] \circ [/mm] T$ ist eine stetige lineare Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y [mm] \to \mathbb{K}$, [/mm] also ein Element in $X'$.
Also ist $T'(f) = f [mm] \circ [/mm] T$.
Jetzt bestimme doch mal die Norm von $T'(f)$; bedenke dabei, dass $T$ isometrisch ist, also Normen erhaelt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Ich war etwas voreilig, hatten adjungierte Operatoren noch gar nicht, aber ich habs nachgelesen. Kann ich es in etwa so machen?
Sei [mm] $f\in [/mm] Y'$, dann ist
[mm] $||T'f||=\sup_{||x||=1} \lbrace |(T'f)(x),~x\in X\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace f(Tx)\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace [/mm] ||f|| [mm] \underbrace{||Tx||}_{=||x||}\rbrace=||f||$
[/mm]
Bin mir mit der Gleichheit nicht sicher. Dachte, es klappt so, weil ich mir das Supremum angucke, eigentlich hab ich da ja nur ein [mm] $\leq$.
[/mm]
Aus Isometrie folgt ja Injektivität, also muss ich nur noch Surjektivität zeigen, richtig?
Danke!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 07.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich war etwas voreilig, hatten adjungierte Operatoren noch
> gar nicht, aber ich habs nachgelesen. Kann ich es in etwa
> so machen?
>
> Sei [mm]f\in Y'[/mm], dann ist
> [mm]||T'f||=\sup_{||x||=1} \lbrace |(T'f)(x),~x\in X\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace f(Tx)\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace ||f|| \underbrace{||Tx||}_{=||x||}\rbrace=||f||[/mm]
Da fehlen ein paar Betragsstriche / Normstriche zwischendurch!
> Bin mir mit der Gleichheit nicht sicher.
Wieso schreibst du sie dann einfach so hin? Und bei welche(r/n) bist du dir nicht so sicher?
Stimmen tun sie schon alle, aber das muss man erstmal zeigen. An einer Stelle bekommt man naemlich nur ein [mm] $\le$ [/mm] hin, dass [mm] $\ge$ [/mm] muss man noch zeigen (indem man sich eine Folge nimmt die gegen das Supremum konvergiert).
> Dachte, es klappt
> so, weil ich mir das Supremum angucke, eigentlich hab ich
> da ja nur ein [mm]\leq[/mm].
Bei welchem Schritt?
> Aus Isometrie folgt ja Injektivität, also muss ich nur noch
> Surjektivität zeigen, richtig?
Genau. Aber dafuer kannst du benutzen, dass $T$ ebenfalls ein Isomorphismus gibt, es also [mm] $T^{-1}$ [/mm] gibt (und somit auch [mm] $(T^{-1})'$).
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 07.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Hi, danke für die Antwort, hab die 3 vergessen - d.h. bei der 3. Gleichheit bin ich mir nicht sicher, denn eigentlich habe ich doch nur
[mm] $|f(Tx)|\leq [/mm] ||f|| [mm] \cdot [/mm] ||T||$
Da ich aber, das Supremum betrachte, habe ich angenommen, dass die Gleichheit zustande kommt. Ich schätze mal, diese Gleichheit hast du auch gemeint. Also, ich hatte es natürlich so gemeint
$ [mm] ||T'f||=\sup_{||x||=1} \lbrace |(T'f)(x)|,~x\in X\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace |f(Tx)|\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace [/mm] ||f|| [mm] \underbrace{||Tx||}_{=||x||}\rbrace=||f|| [/mm] $
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 So 07.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hi, danke für die Antwort, hab die 3 vergessen - d.h. bei
> der 3. Gleichheit bin ich mir nicht sicher, denn
> eigentlich habe ich doch nur
> [mm]|f(Tx)|\leq ||f|| \cdot ||T||[/mm]
Genau :)
> Da ich aber, das Supremum
> betrachte, habe ich angenommen, dass die Gleichheit
> zustande kommt. Ich schätze mal, diese Gleichheit hast du
> auch gemeint. Also, ich hatte es natürlich so gemeint
> [mm]||T'f||=\sup_{||x||=1} \lbrace |(T'f)(x)|,~x\in X\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace |f(Tx)|\rbrace=\sup_{||x||=1}\lbrace ||f|| \underbrace{||Tx||}_{=||x||}\rbrace=||f||[/mm]
Ja. Die Gleichheit musst du allerdings Begruenden. (Ist allerdings nicht so schwer, folgt im Prinzip daraus dass das Supremum, ueber welches [mm] $\|f\|$ [/mm] definiert ist, gleichzeitig die kleinste Zahl ist, die [mm] $\|f(x)\| \le \|f\| \cdot \|x\|$ [/mm] fuer alle $x$ erfuellt.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 10.12.2008 | | Autor: | eps |
ich verstehe nicht ganz warum f aus Y' ist und nicht aus X', denn T : X' [mm] \to [/mm] Y'.
und muss nicht bei isometrisch gelten: [mm] \parallel [/mm] T'x' [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x' [mm] \parallel [/mm] f.a. x' [mm] \in [/mm] X' ???
könnte mir das jemand erklären?
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 10.12.2008 | | Autor: | eps |
oh ich hab mich vertan T' bildet ja von Y' nach X' ab  tschuldigung. dann ist alles klar
|
|
|
|
