Isotropiegruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 21.10.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert. Vergleiche die Isotropiegruppen [mm] G_x [/mm] von x und [mm] G_{s*x} [/mm] von s*x für x [mm] \in [/mm] X, s [mm] \in [/mm] G. |
Also [mm] G_x [/mm] = { s [mm] \in [/mm] G : s*x = x}
und [mm] G_{s*x} [/mm] = {s [mm] \in [/mm] G : s*(s*x) = s*x}.
Ich denke, dass diese beiden Gruppen konjugiert zueinander sind.
So muss ich also zeigen, dass für zwei Elemente a, a' [mm] \in G_x [/mm] ein Element b [mm] \in G_{s*x} [/mm] existiert, mit a = [mm] b*a'*b^{-1}.
[/mm]
Doch wie kann ich da am besten vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert.
> Vergleiche die Isotropiegruppen [mm]G_x[/mm] von x und [mm]G_{s*x}[/mm] von
> s*x für x [mm]\in[/mm] X, s [mm]\in[/mm] G.
> Also [mm]G_x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { s [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G : s*x = x}
> und [mm]G_{s*x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {s [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G : s*(s*x) = s*x}.
Die letzte "Definition" ist nicht gut: du verwendest $s$ doppelt!
>
> Ich denke, dass diese beiden Gruppen konjugiert zueinander
> sind.
Sind sie.
> So muss ich also zeigen, dass für zwei Elemente a, a' [mm]\in G_x[/mm]
> ein Element b [mm]\in G_{s*x}[/mm] existiert, mit a = [mm]b*a'*b^{-1}.[/mm]
Ja. Du hast nun $s [mm] \in [/mm] G$ gegeben. Es ist ja [mm] $G_{s x} [/mm] = [mm] \{ t \in G \mid t (s x) = s x \} [/mm] = [mm] \{ t \in G \mid (s^{-1} t s) x = x \}$. [/mm] Zeige damit [mm] $G_{s x} [/mm] = s [mm] G_x s^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 21.10.2009 | | Autor: | johnny11 |
Sorry, ja das war verwirrlich mit den verschiedenen s.
> Ja. Du hast nun [mm]s \in G[/mm] gegeben. Es ist ja [mm]G_{s x} = \{ t \in G \mid t (s x) = s x \} = \{ t \in G \mid (s^{-1} t s) x = x \}[/mm].
> Zeige damit [mm]G_{s x} = s G_x s^{-1}[/mm].
Ja so habe ichs dann zeigen können.
Doch habe ich gebraucht, dass [mm] x*x^{-1} [/mm] = 1 gibt. Stimmt dies für eine Menge X? Eine Menge X muss ja nicht unbedingt inverse Elemente besitzen, oder?
Bin wie folgt vorgegangen:
[mm] (s^{-1}*t*s)*x=v*x, [/mm] wobei v wie folgt definiert ist:
[mm] G_x [/mm] = {v [mm] \in [/mm] G : v*x = x}
Dann folgt weiter:
[mm] s^{-1}*t*s= [/mm] v
und also [mm] t=s*v*s^{-1}
[/mm]
Kann ich so vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sorry, ja das war verwirrlich mit den verschiedenen s.
>
> > Ja. Du hast nun [mm]s \in G[/mm] gegeben. Es ist ja [mm]G_{s x} = \{ t \in G \mid t (s x) = s x \} = \{ t \in G \mid (s^{-1} t s) x = x \}[/mm].
> > Zeige damit [mm]G_{s x} = s G_x s^{-1}[/mm].
>
> Ja so habe ichs dann zeigen können.
Gut.
> Doch habe ich gebraucht, dass [mm]x*x^{-1}[/mm] = 1 gibt.
Was soll das sein? $x$ ist ein Element aus $X$, das kannst du nirgendwo mit multiplizieren.
Du kannst immer nur von Links mit Gruppenelementen multiplizieren.
> Stimmt
> dies für eine Menge X? Eine Menge X muss ja nicht
> unbedingt inverse Elemente besitzen, oder?
Es ist nichtmals $x * y$ definiert fuer $x, y [mm] \in [/mm] X$, insbesondere gibt es keine Inversen.
> Bin wie folgt vorgegangen:
>
> [mm](s^{-1}*t*s)*x=v*x,[/mm] wobei v wie folgt definiert ist:
>
> [mm]G_x[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G : v*x = x}
Das ist keine "Definition" von $v$. Schreib doch einfach: $v = s^{-1} t s$ erfuellt $v x = x$, womit $v \in G_x$ ist.
Damit hast du gezeigt: $s^{-1} G_{s x} s \subseteq G_x$. Daraus folgt $G_{s x} \subseteq s G_x s^{-1}$ (warum?).
> Dann folgt weiter:
>
> [mm]s^{-1}*t*s=[/mm] v
>
> und also [mm]t=s*v*s^{-1}[/mm]
Ja. Und was machst du jetzt damit?
Du musst doch zeigen: ist $t [mm] \in [/mm] s [mm] G_x s^{-1}$, [/mm] also $t = s v [mm] s^{-1}$ [/mm] mit $v [mm] \in G_x$, [/mm] dann gilt $t [mm] \in G_{s x}$, [/mm] also $t (s x) = s x$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 21.10.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Damit hast du gezeigt: [mm]s^{-1} G_{s x} s \subseteq G_x[/mm].
> Daraus folgt [mm]G_{s x} \subseteq s G_x s^{-1}[/mm] (warum?).
Kann ich da nicht einfach von links mit s und von rechts mit [mm] s^{-1} [/mm] multiplizieren, damit ich das gewünschte erhalte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Damit hast du gezeigt: [mm]s^{-1} G_{s x} s \subseteq G_x[/mm].
> > Daraus folgt [mm]G_{s x} \subseteq s G_x s^{-1}[/mm] (warum?).
>
> Kann ich da nicht einfach von links mit s und von rechts
> mit [mm]s^{-1}[/mm] multiplizieren, damit ich das gewünschte
> erhalte?
Genau :)
LG Felix
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