Iteration/Newton-Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 23.03.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | (a)
Begründen Sie, dass die Gleichung [mm] x^3+4x^2=10 [/mm] genau eine Lösung x* im Intervall [1,2] besitzt.
(b)
Welche der folgenden Iterationsvorschriften konvergiert für alle Startwerte [mm] x_0 \in [/mm] [1,2] gegen das obige x*
(i) [mm] x_{n+1}= [/mm] -10 + [mm] x_n [/mm] + [mm] 4x_n^2 [/mm] + [mm] x_n^3
[/mm]
(ii) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{10}{4+x_n}}
[/mm]
(iii) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{10}{4+x_n}}+1
[/mm]
(c)Geben Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens fur (1) an. Fuhren Sie einen Schritt des Verfahrens mit dem Startwert x0 = 2 aus. |
hi zusammen,
hier mal mein lösungsansatz:
zu a:
da hab ich das wie folgt gemacht. wenn ich 1 einsetze erhalte ich [mm] 1^3+4*1^2 [/mm] = 5 < 10 und wenn ich 2 einsetze bekomme ich 8+16=24>10 also muss es dazwischen liegen.
zu b:
hier hab ich jeweils die ableitungen gebildet und geschaut welche <1 sind. bei (i) war das nicht der fall, bei (ii) war das der fall und bei (iii) war das auch nicht der fall. schließlich konvergiert nur (ii)
zu c:
hier bin ich wie folgt vorgegangen:
f(x) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 10 | f(x) = 0
0 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] - 10 | +10
10 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] | [mm] x^2 [/mm] ausklammern
10 = [mm] x^2 [/mm] ( x + 4) | : (x+4)
[mm] \bruch{10}{x+4} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] | wurzelziehen
[mm] \wurzel{\bruch{10}{x+4}} [/mm] = x
das newtonverfahren hat folgende vorschrift
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
dann hab ich das eingesetzt und ab da bin ich mir auch nimmer sicher
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{x_n^3+4x_n^2-10}{3x_n^2+8x_n}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{14}{28} [/mm] = 1,5
wäre nett wenn mal einer drüberschaut und mir bescheid gibt falls was nicht korrekt ist, weil ich trau meiner eigenen lösung nicht.
lg und danke im voraus
meep
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Hallo meep!
Du hast hier lediglich gezeigt, dass aufgrund des Zwischenwertsatzes mindestens eine Lösung existieren muss.
Es fehlt jedoch noch der Nachweis, dass diese Lösung auch die einzige Lösung ist (Stichwort: Monotonie).
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 23.03.2011 | | Autor: | meep |
vielen dank für die info roadrunner werd das im hinterkopf behalten mit der monotonie.
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Hallo meep,
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> (b)
> Welche der folgenden Iterationsvorschriften konvergiert
> für alle Startwerte [mm]x_0 \in[/mm] [1,2] gegen das obige x*
>
> (i) [mm]x_{n+1}=[/mm] -10 + [mm]x_n[/mm] + [mm]4x_n^2[/mm] + [mm]x_n^3[/mm]
> (ii) [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{10}{4+x_n}}[/mm]
> (iii) [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{10}{4+x_n}}+1[/mm]
>
> hi zusammen,
>
> hier mal mein lösungsansatz:
>
>
> zu b:
>
> hier hab ich jeweils die ableitungen gebildet und geschaut
> welche <1 sind. bei (i) war das nicht der fall, bei (ii)
Hier musst Du den Betrag der Ableitungen auf "<1" testen.
> war das der fall und bei (iii) war das auch nicht der fall.
> schließlich konvergiert nur (ii)
>
Die Ableitung der unter iii) genannten Iterationsfunktion ist
betragsmäßig kleiner 1, erfüllt aber die gegebene Gleichung nicht.
>
> wäre nett wenn mal einer drüberschaut und mir bescheid
> gibt falls was nicht korrekt ist, weil ich trau meiner
> eigenen lösung nicht.
>
> lg und danke im voraus
>
> meep
>
Gruss
MathePower
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Hallo meep,
>
> (c)Geben Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens
> fur (1) an. Fuhren Sie einen Schritt des Verfahrens mit
> dem Startwert x0 = 2 aus.
> hi zusammen,
>
> hier mal mein lösungsansatz:
>
>
> zu c:
>
> hier bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] - 10 | f(x) = 0
>
> 0 = [mm]x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] - 10 | +10
>
> 10 = [mm]x^3[/mm] + [mm]4x^2[/mm] | [mm]x^2[/mm] ausklammern
>
> 10 = [mm]x^2[/mm] ( x + 4) | : (x+4)
>
> [mm]\bruch{10}{x+4}[/mm] = [mm]x^2[/mm] | wurzelziehen
>
> [mm]\wurzel{\bruch{10}{x+4}}[/mm] = x
>
> das newtonverfahren hat folgende vorschrift
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_n[/mm] - [mm]\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
>
> dann hab ich das eingesetzt und ab da bin ich mir auch
> nimmer sicher
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_n[/mm] - [mm]\bruch{x_n^3+4x_n^2-10}{3x_n^2+8x_n}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 - [mm]\bruch{14}{28}[/mm] = 1,5
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wäre nett wenn mal einer drüberschaut und mir bescheid
> gibt falls was nicht korrekt ist, weil ich trau meiner
> eigenen lösung nicht.
>
> lg und danke im voraus
>
> meep
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 23.03.2011 | | Autor: | meep |
hi mathepower,
vielen dank fürs drüberschauen!
lg
meep
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