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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | | Formen Sie die Gleichung [mm] x^4 [/mm] -3x +1 = 0 in die Form x=i(x) um und prüfen Sie, ob die sich ergebe Iterationsfolge zu einer Lösung der Gleichung führt. |
Hallo,
Ich habe versucht, die vorgegebene Funktion in die Form x=i(x) umzuformen. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich es schaffe, die Terme, die ein x enthalten, auf eine Seite zu bekommen.
Irgendwann war ich an folgendem Punkt:
[mm] -x^4 [/mm] + 3x = 1 [mm] \*(-1)
[/mm]
[mm] x^4 [/mm] - 3x = -1 /(-3)
[mm] \bruch{-x^4}{3} [/mm] -x = -1
Dieses Ergebnis muss ja falsch sein..denn wenn ich auf diesem Wege weiterrechne, werde ich es wohl nie schaffen, die x-Terme zu Einem zusammenzufassen. Sobald das eine x ohne Potenz dasteht, ist über dem anderen ein Wurzelzeichen und die Terme lassen sich nicht zusammenfassen. Hilfe!
Habe ich nur etwas falsch verstanden? Muss ich vielleicht gar nicht alle x-Terme zusammenfassen?
Außerdem weiß ich nicht, wie ich überprüfe, ob die sich ergebene Iterationsfolge zu einer Lösung der Gleichung führt...Was ist denn überhaupt die Iterationsfolge? x = i(x) ?
Ich freue mich über Tipps...
Danke, Loon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Loon,
die von Dir zu lösende Gleichung ist nichtlinear und soll die Nullstellen der linken Gleichungsseite liefern. Die Idee bei all den Iterationsverfahren ist es, die Gleichung $ f(x) 0= 0 $ in eine Gleichung $ g(x) = h (x) $ umzuformen, wobei bei Dir $ g(x) = x $ gilt. Damit ist $ h(x) $ auch gegeben. Man setzt nun für x einen Startwert ein, berechnet sich mit Hilfe der rechten Seite der Gleichung ein neues x und rechnet mit diesem weiter usw. usw. Damit dieses Verfahren konvergiert, ist es hinreichend, dass die Ableitungen von $ g(x)$ und $ h(x) $ in der Umgebung von x stetig sind. Der Startpunkt muss in dieser Umgebung liegen und es muss gelten:
$$ | [mm] g^{'} [/mm] (x) | > | [mm] h^{'} [/mm] (x) | [mm] \, [/mm] . $$
Damit solltest Du weiterkommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Loon |
Hallo,
Erst einmal vielen Dank für das Beantworten meiner Frage!
Ich muss leider zugeben, dass mir dieser Tipp nicht weiterhilft...ich schaffe es immer noch nciht, die Gleichung nach x umzustellen....
Loon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Loon,
aus Deiner Ursprungsgleichung bekommst Du doch
$$ 3 x = [mm] x^4 [/mm] +1 [mm] \, [/mm] . $$ Teile diese Gleichung durch 3 und die hast die gewünschte Form mit [mm] g(x) = x [/mm] und [mm]h(x) = \bruch {x^4 +1}{3} [/mm]. Suche dann mal einen Startwert aus, beispielspielsweise [mm] x = 1 [/mm] und schaue mal, wohin Dich die Iteration führt.
Gruß,
Infinit
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