Iterationsmatrizen aufstellen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 Do 27.12.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Die Matrix [mm] A\in\IC^{n\times n} [/mm] habe die Gestalt [mm] A=\pmat{ I & -B^\ast \\ -B & I } [/mm] mit [mm] B\in\IC^{p\times q} [/mm] und Einheitsmatrizen I. Dabei gilt 0<p,q<n und p+q=n.
Stellen Sie für die Matrix A die Iterationsmatrizen [mm] M_J [/mm] und [mm] M_{GS} [/mm] des Jacobi- und
Gauß-Seidel-Verfahrens auf und zeigen Sie mit Hilfe von a) die Gleichung [mm] \rho(M_{GS})=\rho(M_J)^2. [/mm] |
Hallo.
In Aufgabenteil a) wurde bewiesen, dass für die Matrizen [mm] X\in\IC^{p\times q},Y\in\IC^{q\times p},Z\in\IC^{n\times n} [/mm] gilt [mm] \sigma(XY)\setminus\{0\}=\sigma(YX)\setminus\{0\} [/mm] und [mm] \sigma(Z^2)=\{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(Z)\}.
[/mm]
Die Iterationsmatrix des Jacobi-Verfahrens ist [mm] M_J=D^{-1}(D-A)=I-D^{-1}A=I-A, [/mm] denn D ist der Diagonalanteil von A, der gerade D=I ist. Weiter ist [mm] I-A=\pmat{ 0 & B^\ast \\ B & 0 }=M_J.
[/mm]
Für die Gauß-Seidel-Matrix habe ich berechnet [mm] M_{GS} [/mm] = [mm] I-(D+L)^{-1}A [/mm] = [mm] I-\pmat{ I & 0 \\ -B & I }^{-1}A [/mm] = [mm] I-\pmat{ I & 0 \\ B & I }A [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & B^\ast \\ 0 & BB^\ast }.
[/mm]
Jetzt müsste ich die Eigenwerte berechnen, um die Gleichung $ [mm] \rho(M_{GS})=\rho(M_J)^2$ [/mm] zu zeigen. Das ist bei so großen Matrizen ja nicht einfach. Hat jemand einen Tip wie man das einfacher sieht?
gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Fr 28.12.2012 | | Autor: | straussy |
Eigenwerte zu berechnen macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn. Mit [mm] $\rho$ [/mm] ist wahrscheinlich der Spektralradius gemeint, d.h. das Maximum über die Beträge aller Singulärwerte. Da ist dann auch der Bezug zu Aufgabe a)
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Fr 28.12.2012 | | Autor: | straussy |
Sorry, deine Frage ist natürlich mit meinem Hinweis immer noch nicht beantwortet. Ich komme nach wie vor nicht mit dem Kategorisieren klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:50 Mi 09.01.2013 | | Autor: | triad |
Ich hab den zweiten Teil nochmal versucht:
Zu zeigen ist mit Hilfe von a) die Gleichung $ [mm] \rho(M_{GS})=\rho(M_J)^2. [/mm] $
Es wurde in Aufgabenteil a) gezeigt, dass für $ [mm] X\in\IC^{p\times q},Y\in\IC^{q\times p},Z\in\IC^{n\times n} [/mm] $ gilt
(*) $ [mm] \sigma(XY)\setminus\{0\}=\sigma(YX)\setminus\{0\} [/mm] $,
(**) [mm] \sigma(Z^2)=\{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(Z)\}.
[/mm]
Und ich hatte berechnet [mm] M_{GS}=\pmat{ 0 & B^\ast \\ 0 & BB^\ast }.
[/mm]
Da [mm] M_J\in\IC^{n\times n} [/mm] folgt wegen (**), dass [mm] \sigma(M_J^2)=\{\lambda^2 \mid \lambda\in\sigma(M_J)\} \Rightarrow [/mm] $ [mm] \rho(M_J)^2=\rho(M_J^2) [/mm] $.
Es gilt [mm] M_J^2=\pmat{ B^\ast B & 0 \\ 0 & BB^\ast }. [/mm] Es gilt für die Eigenwerte von [mm] $M_J$ [/mm] bzw. für das char. Polynom von [mm] $M_J$:
[/mm]
[mm] P_{M_J}(\lambda)=det(M_J-\lambda I)=det(B^\ast B-\lambda I)*det(BB^\ast -\lambda I)=P_{B^\ast B}(\lambda)*P_{BB^\ast}(\lambda). [/mm] Da B*B und BB* wegen (*) die selben Eigenwerte haben, hat [mm] M_J^2 [/mm] o.E. die gleichen EW wie z.B. BB* (nur mit evtl. höherer Vielfachheit halt).
Es folgt [mm] \sigma(M_J^2)\setminus\{0\}=\sigma(BB^\ast)\setminus\{0\} [/mm] und wegen [mm] \sigma(M_{GS})\setminus\{0\}=\sigma(BB^\ast)\setminus\{0\} \Rightarrow \rho(M_J)^2=\rho(M_J^2)=\rho(M_{GS}).
[/mm]
Ist das einigermaßen verständlich und richtig?
gruß triad
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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