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Ich habe folgende Matrix gegeben:
[mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ d & b & 0 \\ f & e & c } [/mm]
Nun soll man in Abhängigkeit von a, b, c, d, e, f [mm] \in \IC [/mm] die JNF bestimmen.
Also ich denke man muss ne Fallunterscheidung machen:
charakteristisches Polynom ist: (X-a)(X-b)(X-c)
1.Fall:
d=e=f=0
Dann ist es ein trivialer Fall, weil die Matrix dann diagonalisierbar ist.
2.Fall:
[mm] a\not=b\not=c
[/mm]
[mm] J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c } [/mm]
[mm] 3.Fall:a\not=b=c
[/mm]
[mm] J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 1 & b } [/mm]
[mm] 4.Fall:b\not=a=c
[/mm]
[mm] J=\pmat{ b & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a} [/mm]
[mm] 5.Fall:c\not=a=b
[/mm]
[mm] J=\pmat{ c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a} [/mm]
6.Fall:a=b=c d oder e = 0
[mm] J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a} [/mm]
7.Fall:a=b=c d, e [mm] \not= [/mm] 0
[mm] J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a} [/mm]
Bin mir ziemlich unsicher, ob ich die Fälle richtig betrachtet habe.
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> Ich habe folgende Matrix gegeben:
> [mm]\pmat{ a & 0 & 0 \\ d & b & 0 \\ f & e & c }[/mm]
> Nun soll man in Abhängigkeit von a, b, c, d, e, f [mm]\in \IC[/mm]
> die JNF bestimmen.
> Also ich denke man muss ne Fallunterscheidung machen:
> charakteristisches Polynom ist: (X-a)(X-b)(X-c)
>
> 1.Fall:
> d=e=f=0
> Dann ist es ein trivialer Fall, weil die Matrix dann
> diagonalisierbar ist.
Hallo,
sie ist ja bereits eine Diagonalmatrix.
> 2.Fall:
> [mm]a\not=b\not=c[/mm]
> [mm]J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c }[/mm]
Erwähnenswert ist, daß dies völlig unabhängig davon, wie d,e,f sind, so ist.
Bei den Fällen, in denen zwei Eigenwerte gleich sind, vergißt Du mit anzugeben, welchen Einfluß d,e,f haben auf die JNF.
Wenn zwei Eigenwerte gleich sind, kann doch auch eine Diagonalmatrix als JNF herauskommen. (Auch in Fällen, in denen d,e,f nicht all =0 sind.)
> [mm]3.Fall:a\not=b=c[/mm]
> [mm]J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 1 & b }[/mm]
> [mm]4.Fall:b\not=a=c[/mm]
> [mm]J=\pmat{ b & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a}[/mm]
> [mm]5.Fall:c\not=a=b[/mm]
> [mm]J=\pmat{ c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a}[/mm]
Die Untersuchung von a=b=c ist noch nicht vollständig.
Du sagst nicht, unter welchen Bedingungen man
[mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ 1& a & 0 \\ 0 & 1 & a}
[/mm]
erhält.
Gruß v. Angela
> 6.Fall:a=b=c d oder e = 0
> [mm]J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & a}[/mm]
> 7.Fall:a=b=c d, e [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]J=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a}[/mm]
> Bin mir ziemlich unsicher, ob ich die Fälle richtig
> betrachtet habe.
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