JNF einer nilpotenten Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | V n-dimensionaler Vektorraum, [mm] \Phi \in [/mm] End(V) mit [mm] Rang(\Phi) [/mm] = n-1 und [mm] \Phi^{n} [/mm] = 0. Berechnen Sie die Jordansche Normalform von [mm] \Phi. [/mm] |
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Sei [mm] A_{\Phi} [/mm] die Darstellungsmatrix von [mm] \Phi, [/mm] dann muss [mm] A_{\Phi} [/mm] ja n x n und nilpotent sein.
Aus der Nilpotenz resultiert, dass alle n Eigenwerte 0 sind. und da [mm] A_{\Phi} [/mm] keinen vollen Rang hat, muss insbesondere eine Zeile und/oder Spalte doppelt auftreten.
Die Matrix sollte also irgendwie so aussehen, nur wo stehen jetzt die 1er und wo die 0er?
[mm] \pmat{ 0 & 0/1 & 0 & .. & .. & 0 \\ 0 & 0 & 0/1 & 0 & .. & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0/1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 04.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> V n-dimensionaler Vektorraum, [mm]\Phi \in[/mm] End(V) mit
> [mm]Rang(\Phi)[/mm] = n-1 und [mm]\Phi^{n}[/mm] = 0. Berechnen Sie die
> Jordansche Normalform von [mm]\Phi.[/mm]
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> Sei [mm]A_{\Phi}[/mm] die Darstellungsmatrix von [mm]\Phi,[/mm] dann muss
> [mm]A_{\Phi}[/mm] ja n x n und nilpotent sein.
> Aus der Nilpotenz resultiert, dass alle n Eigenwerte 0
> sind. und da [mm]A_{\Phi}[/mm] keinen vollen Rang hat, muss
> insbesondere eine Zeile und/oder Spalte doppelt auftreten.
>
> Die Matrix sollte also irgendwie so aussehen, nur wo stehen
> jetzt die 1er und wo die 0er?
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0/1 & 0 & .. & .. & 0 \\ 0 & 0 & 0/1 & 0 & .. & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0/1}[/mm]
>
Die Matrix sollte eher so aussehen:
[mm]\pmat{ 0 & 0/1 & 0 & .. & .. & 0 \\ 0 & 0 & 0/1 & 0 & .. & 0 \\ .. & .. & .. & .. & .. & .. \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0/1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Und von dieser Matrix kannte den Rang ausrechnen. Dadurch kennste dann auch die Lösung, da ja der Rang n-1 sein soll.
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