Jede Menge Differ.gleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 21.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Differenzialgleichungen, falls diese existieren.
[mm] y'(x)=xy^{2}(x) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Differenzialgleichungen, falls diese existieren.
a) [mm] y'(x)=x^{2}y(x)
[/mm]
b) [mm] y'(x)+xy^{2}(x)=0
[/mm]
c) [mm] xy'(x)=\wurzel{1-y^{2}(x)} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Zeigen Sie, dass die Differenzialgleichung
[mm] (1+x^{2})u''(x)-2xu'(x)+2u(x)=0
[/mm]
die Lösung [mm] u_{1}(x)=x [/mm] besitzt. Bestimmen Sie eine weitere Lösung [mm] u_{2}(x) [/mm] durch Reduktion der Ordnung, d.h. durch den Ansatz [mm] u_{2}(x)=xv(x) [/mm] |
| Aufgabe 4 | Eine Differenzialgleichung der Form
[mm] y(x)=xy'(x)+\mu(y'(x))
[/mm]
für x aus einem Intervall J und mit einer stetig differenzierbaren Funktion [mm] \mu:\IR\to\IR [/mm] wird Clairaut'sche Differenzialgleichung genannt.
a) Differenzieren Sie die Differenzialgleichung und zeigen Sie so, dass es eine Schar von Geraden gibt, von denen jede die Differenzialgleichung löst.
b) Es sei konkret
[mm] \mu(p)=ln((1+p^{2})^{2})-p*arctan(p) [/mm] für [mm] p\in\IR.
[/mm]
Bestimmen Sie eine weitere Lösung der Differenzialgleichung für [mm] J=(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2})
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass für jedes [mm] x_{0}\in(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}) [/mm] die Tangente der Lösung aus b) eine der Geraden aus a) ist. Man nennt die Lösung aus b) auch die Einhüllende der Geraden aus a).
d) Wie viele stetig differenzierbare Lösungen gibt es für eine Anfangswertvorgabe [mm] y(x_{0})=y_{0}, y_{0}>0, [/mm] mit [mm] x_{0}\in(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}) [/mm] ? |
| Aufgabe 5 | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
[mm] y''(x)-4y'(x)+3xy(x)=x^{3}+x^{2}-7x+1
[/mm]
mit einem Potenzreihenansatz |
Zu Aufgabe 1)
Diese Aufgabe wurde uns vorgerechnet und da gab es einen Schritt, den ich nicht nachvollziehen konnte... kann mich bitte jemand aufklären? undzwar wurde durch [mm] y^{2}(x) [/mm] dividiert, wobei y(x)=0 ausgeschlossen wurde, da dies eine uninteressante Lösung ist. Hinterher wurde integriert und da taucht auch der Schritt auf, den ich nicht verstehe, nämlich:
[mm] \integral{\bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{y^{2}}dy}=\integral{xdx}=\bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
Das mit dem Integral für x ist einfach aber wie kommt man auf [mm] \integral{\bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{y^{2}}dy} [/mm] ? Das verstehe ich nicht....
Zu Aufgabe 2)
a) hier komme ich auf das Ergebnis [mm] y(x)=Ae^{\bruch{x^{3}}{3}}
[/mm]
[mm] b)y(x)=-\bruch{2}{x^{2}+c}
[/mm]
c) könnte mir hier bitte jemand helfen? Da komme ich nicht weiter und weiß nicht, was ich machen soll....
Zu Aufgabe 3)
Das mit dem [mm] u_{1}(x)=x [/mm] habe ich nachgewiesen, das war einfach, aber das mit dem [mm] u_{2}(x)=xv(x) [/mm] schaffe ich irgendwie nicht...
Da kommt bei mir raus [mm] 2v'(x)+x(1+x^{2})v''(x)=0 [/mm] und da komme ich nicht weiter...
Zu Aufgabe 4)
Das mit dem Differenzieren ist einfach, da bekomme ich
0= [mm] y''(x)(x+\mu(y'(x)))
[/mm]
heraus, aber was sagt mir sowas? Und wie mache ich dann weiter?
Zu Aufgabe 5)
Ich habe den Ansatz [mm] y(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}x^{n})
[/mm]
und somit [mm] y'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(na_{n}x^{n-1})=\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)a_{n+1}x^{n})
[/mm]
[mm] y''(x)=\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n})
[/mm]
Wenn ich das jetzt in die DGL einsetze, komme ich durch Koeffizientenvergleich jedoch auf ein LGS, dass keine eindeutige Lösung besitzt..... Kann das stimmen?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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Hallo bquadrat,
> Berechnen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden
> Differenzialgleichungen, falls diese existieren.
> [mm]y'(x)=xy^{2}(x)[/mm]
> Zu Aufgabe 1)
> Diese Aufgabe wurde uns vorgerechnet und da gab es einen
> Schritt, den ich nicht nachvollziehen konnte... kann mich
> bitte jemand aufklären? undzwar wurde durch [mm]y^{2}(x)[/mm]
> dividiert, wobei y(x)=0 ausgeschlossen wurde, da dies eine
> uninteressante Lösung ist. Hinterher wurde integriert und
> da taucht auch der Schritt auf, den ich nicht verstehe,
> nämlich:
>
> [mm]\integral{\bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{y^{2}}dy}=\integral{xdx}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
> Das mit dem Integral für x ist einfach aber wie kommt man
> auf
> [mm]\integral{\bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}dx}=\integral{\bruch{1}{y^{2}}dy}[/mm]
> ? Das verstehe ich nicht....
Es wurde
[mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
gesetzt.
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Sa 21.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
Ah danke :) habe gar nicht daran gedacht das durch die leibniz-notation darzustellen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 21.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hi,
> Ah danke :) habe gar nicht daran gedacht das durch die
> leibniz-notation darzustellen :)
Ich würde dir empfehlen dich so schnell wie möglich daran zu gewöhnen, da du es in naher Zukunft fast nur noch so wiederfinden wirst. Gründe wirst du dann sehen 
Ansonsten vergiss nicht, dass du das ganze auch für $y(x)=0$ lösen kannst.
Liebe Grüße
DieAcht
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Hallo bquadrat,
> Berechnen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden
> Differenzialgleichungen, falls diese existieren.
>
> a) [mm]y'(x)=x^{2}y(x)[/mm]
> b) [mm]y'(x)+xy^{2}(x)=0[/mm]
> c) [mm]xy'(x)=\wurzel{1-y^{2}(x)}[/mm]
> Zu Aufgabe 2)
> a) hier komme ich auf das Ergebnis
> [mm]y(x)=Ae^{\bruch{x^{3}}{3}}[/mm]
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> [mm]b)y(x)=-\bruch{2}{x^{2}+c}[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingschlichen:
[mm]b)y(x)=\blue{+}\bruch{2}{x^{2}+c}[/mm]
> c) könnte mir hier bitte jemand helfen? Da komme ich
> nicht weiter und weiß nicht, was ich machen soll....
Um das Integral bezüglich y zu lösen,
verwendest Du z.B. die Substitution
[mm]y=\sin\left(u\right)[/mm]
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 21.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
a)
[mm] y'(x)=x^{2}y(x)
[/mm]
[mm] \bruch{y'(x)}{y(x)}=x^{2}
[/mm]
Dann wird auf beiden Seiten integriert und man erhält:
[mm] ln|y(x)|=\bruch{x^{3}}{3}+c \Rightarrow y(x)=Ae^{\bruch{x^{3}}{3}}
[/mm]
b)
[mm] y'(x)+xy^{2}(x)=0
[/mm]
[mm] \bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}=-x
[/mm]
Nach Integration auf beiden Seiten erhält man:
[mm] -\bruch{1}{2y(x)}=-\bruch{x^{2}+c}{2}
[/mm]
wenn man nach y(x) auflöst, erhält man:
[mm] y=\bruch{1}{x^{2}+c}
[/mm]
[mm] c)xy'(x)=\wurzel{1-y^{2}(x)}
[/mm]
Substitution: y(x)=sin(u) [mm] \Rightarrow [/mm] y'(x)=cos(u)u'(x)
somit gilt:
xcos(u)u'=cos(u) [mm] \Rightarrow [/mm] xu'=1 [mm] \Rightarrow u'=\bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] u= ln|x|+c=arcsin(y(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] y(x)=sin(ln|x|+c)
Stimmt das? :)
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Hallo bquadrat,
> a)
> [mm]y'(x)=x^{2}y(x)[/mm]
> [mm]\bruch{y'(x)}{y(x)}=x^{2}[/mm]
> Dann wird auf beiden Seiten integriert und man erhält:
> [mm]ln|y(x)|=\bruch{x^{3}}{3}+c \Rightarrow y(x)=Ae^{\bruch{x^{3}}{3}}[/mm]
>
Daß das Quadrat bei x steht, nicht bei y, habe ich übersehen.
Dann stimmt diese Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
> [mm]y'(x)+xy^{2}(x)=0[/mm]
> [mm]\bruch{y'(x)}{y^{2}(x)}=-x[/mm]
> Nach Integration auf beiden Seiten erhält man:
> [mm]-\bruch{1}{2y(x)}=-\bruch{x^{2}+c}{2}[/mm]
> wenn man nach y(x) auflöst, erhält man:
> [mm]y=\bruch{1}{x^{2}+c}[/mm]
Hier muss die Lösung lauten:
[mm]y=\bruch{\blue{2}}{x^{2}+c}[/mm]
> [mm]c)xy'(x)=\wurzel{1-y^{2}(x)}[/mm]
> Substitution: y(x)=sin(u) [mm]\Rightarrow[/mm] y'(x)=cos(u)u'(x)
> somit gilt:
> xcos(u)u'=cos(u) [mm]\Rightarrow[/mm] xu'=1 [mm]\Rightarrow u'=\bruch{1}{x} \Rightarrow[/mm]
> u= ln|x|+c=arcsin(y(x)) [mm]\Rightarrow[/mm] y(x)=sin(ln|x|+c)
>
> Stimmt das? :)
Gruss
MathePower
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Hallo bquadrat,
> Zeigen Sie, dass die Differenzialgleichung
> [mm](1+x^{2})u''(x)-2xu'(x)+2u(x)=0[/mm]
> die Lösung [mm]u_{1}(x)=x[/mm] besitzt. Bestimmen Sie eine weitere
> Lösung [mm]u_{2}(x)[/mm] durch Reduktion der Ordnung, d.h. durch
> den Ansatz [mm]u_{2}(x)=xv(x)[/mm]
> Zu Aufgabe 3)
> Das mit dem [mm]u_{1}(x)=x[/mm] habe ich nachgewiesen, das war
> einfach, aber das mit dem [mm]u_{2}(x)=xv(x)[/mm] schaffe ich
> irgendwie nicht...
> Da kommt bei mir raus [mm]2v'(x)+x(1+x^{2})v''(x)=0[/mm] und da
> komme ich nicht weiter...
Substituiere zunächst [mm]v'}\left(x\right)=z\left(x\right)[/mm].
Dann erhältst Du eine DGL 1.Ordnung.
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 21.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
[mm] 2v'(x)+x(1+x^{2})v''(x)=0
[/mm]
v'(x)=z(x) [mm] \Rightarrow [/mm] v''(x)=z'(x)
[mm] \Rightarrow 2z(x)+x(1+x^{2})z'(x)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2z(x)=-x(1+x^{2})z'(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{z'(x)}{2z(x)}=-\bruch{1}{x(1+x^{2})}
[/mm]
Integration auf beiden Seiten liefert:
[mm] ln|\wurzel{z(x)}|=-\integral{\bruch{1}{x(1+x^{2})}dx}
[/mm]
Nach einer Partialbruchzerlegung:
[mm] ln|\wurzel{z(x)}|=ln|\bruch{\wurzel{x^{2}+1}}{x}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow z(x)=v'(x)=\bruch{x^{2}+1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v(x)=\bruch{2x^{2}-1}{2x}+c
[/mm]
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Hallo bquadrat,
> [mm]2v'(x)+x(1+x^{2})v''(x)=0[/mm]
> v'(x)=z(x) [mm]\Rightarrow[/mm] v''(x)=z'(x)
> [mm]\Rightarrow 2z(x)+x(1+x^{2})z'(x)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2z(x)=-x(1+x^{2})z'(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{z'(x)}{2z(x)}=-\bruch{1}{x(1+x^{2})}[/mm]
>
> Integration auf beiden Seiten liefert:
> [mm]ln|\wurzel{z(x)}|=-\integral{\bruch{1}{x(1+x^{2})}dx}[/mm]
> Nach einer Partialbruchzerlegung:
> [mm]ln|\wurzel{z(x)}|=ln|\bruch{\wurzel{x^{2}+1}}{x}|[/mm]
> [mm]\Rightarrow z(x)=v'(x)=\bruch{x^{2}+1}{x^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow v(x)=\bruch{2x^{2}-1}{2x}+c[/mm]
>
Das z(x) stimmt, aber das v(x) nicht.
Gruss
MathePower
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Hallo bquadrat,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differenzialgleichung
> [mm]y''(x)-4y'(x)+3xy(x)=x^{3}+x^{2}-7x+1[/mm]
> mit einem Potenzreihenansatz
> Zu Aufgabe 5)
> Ich habe den Ansatz
> [mm]y(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}x^{n})[/mm]
> und somit
> [mm]y'(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(na_{n}x^{n-1})=\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)a_{n+1}x^{n})[/mm]
> [mm]y''(x)=\summe_{n=0}^{\infty}((n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n})[/mm]
> Wenn ich das jetzt in die DGL einsetze, komme ich durch
> Koeffizientenvergleich jedoch auf ein LGS, dass keine
> eindeutige Lösung besitzt..... Kann das stimmen?
>
Die nichteindeutige Lösung rührt daher, daß
bei einer DGL 2. Ordnung die Anfangsbedingungen
frei wählbar sind.
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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Hallo bquadrat,
> Eine Differenzialgleichung der Form
> [mm]y(x)=xy'(x)+\mu(y'(x))[/mm]
> für x aus einem Intervall J und mit einer stetig
> differenzierbaren Funktion [mm]\mu:\IR\to\IR[/mm] wird Clairaut'sche
> Differenzialgleichung genannt.
> a) Differenzieren Sie die Differenzialgleichung und zeigen
> Sie so, dass es eine Schar von Geraden gibt, von denen jede
> die Differenzialgleichung löst.
> b) Es sei konkret
> [mm]\mu(p)=ln((1+p^{2})^{2})-p*arctan(p)[/mm] für [mm]p\in\IR.[/mm]
> Bestimmen Sie eine weitere Lösung der
> Differenzialgleichung für
> [mm]J=(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2})[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass für jedes
> [mm]x_{0}\in(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2})[/mm] die Tangente der
> Lösung aus b) eine der Geraden aus a) ist. Man nennt die
> Lösung aus b) auch die Einhüllende der Geraden aus a).
> d) Wie viele stetig differenzierbare Lösungen gibt es
> für eine Anfangswertvorgabe [mm]y(x_{0})=y_{0}, y_{0}>0,[/mm] mit
> [mm]x_{0}\in(-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2})[/mm] ?
> Zu Aufgabe 4)
> Das mit dem Differenzieren ist einfach, da bekomme ich
> 0= [mm]y''(x)(x+\mu(y'(x)))[/mm]
> heraus, aber was sagt mir sowas? Und wie mache ich dann
> weiter?
Das sagt Dir zum einen, daß die Gleichung entweder durch
[mm]y''\left(x\right)=0[/mm] oder durch [mm]x+\mu\left( \ y'\left(x\right) \ \right)=0[/mm] gelöst wird.
Die Lösung von [mm]y''\left(x\right)=0[/mm] stellt eine Schar von Geraden dar.
Während die singuläre Lösung die Einhüllende dieser Geradenschar ist.
Die singuläre Lösung wird durch Elimination von y' aus der Gleichung
[mm]x+\mu\left( \ y'\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
sowie aus der ursprünglichen Gleichung
[mm]y(x)=xy'(x)+\mu(y'(x))[/mm]
erhalten.
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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