Jede Untergruppe ist Normal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft, dass jede Untergruppe von G normal ist. Folgere daraus, dass je zwei Elemente teilerfremder Ordnung miteinander kommutieren. |
Hallo Leute,
bräuchte mal einen Tipp, was es mir sagt, wenn jede Untergruppe normal ist, habe nämlich keinen Anhaltspunkt um mit der Aufgabe zu beginnen.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 17.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
eine Untergruppe heißt normal, wenn sie ein Normalteiler ist. Beantwortet das deine Frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das ist mir klar, nein ich meine eigentlich, was daraus folgt, dass alle Untergruppen normal sind, was kann ich daraus folgern, damit ich einen Ansatz habe.
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moin,
Als Ansatz:
Seien $x,y [mm] \in [/mm] G$ zwei Elemente mit teilerfremder Ordnung, $H := <x>$, $U := <y>$ die von den Elementen erzeugten Untergruppen.
Dann gilt aufgrund der Teilerfremdheit:
$H [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{e\}$ [/mm] (wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe bezeichnet).
Dies müsstest du natürlich noch zeigen.^^
Weiterhin sind sowohl $H$ als auch $U$ Normalteiler, da Untergruppen.
Nun hast du vielleicht schon sehr nützliche Sätze, die dir in dieser Situation weiter helfen.
Falls nicht versuche folgendes:
Bastel aus $x$ und $y$ durch Verknüpfung, Inversenbildung, etc. ein Element, das sowohl in $H$ als auch in $U$ liegt.
Daraus folgt dann, dass dieses Element das neutrale Element sein muss und hast du dein Element geschickt gebaut so kannst du dies dann zu $xy = yx$ umstellen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Proposition 1.9. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und H, K Normalteiler
von G mit H \ K = (e).
(i) Die Menge HK = (ab, a [mm] \in [/mm] H und b [mm] \in [/mm] K) ist eine Untergruppe von G.
(ii) Die Untergruppe HK ist zu HxK isomorph. Gilt also HK = G, so sind HxK
und G isomorph. |
Habe den Satz, der hilft mir hierbei aber nicht wirklich weiter oder?
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Zumindest nicht ohne weiteres, nein.
Versuch mal ein wenig mit den Normalteilereigenschaften zu spielen:
Da $H$ ein Normalteiler ist, ist [mm] $yxy^{-1} \in [/mm] H$.
Damit ist auch (da $x [mm] \in [/mm] H$) [mm] $yxy^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] yx(xy)^{-1} \in [/mm] H$.
Nun guck dir nochmal meinen Tipp aus dem oberen Post an und bastel ein wenig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, ich versuche es mal, will aber vorher ein paar grundlegende Dinge klären.
1. Die beiden Elemente müssen aus verschiedenen Normalteilern kommen, da sie sonst nicht teilerfremd sind, da die Ordnung der einzelnen Element die Gruppenordnung teilt oder?
2. Warum wählst du die Normalteiler als zyklische Untergruppen mit H=<x>, zyklisch ist doch gar nicht vorgegeben oder?
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> Ok, ich versuche es mal, will aber vorher ein paar
> grundlegende Dinge klären.
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> 1. Die beiden Elemente müssen aus verschiedenen
> Normalteilern kommen, da sie sonst nicht teilerfremd sind,
> da die Ordnung der einzelnen Element die Gruppenordnung
> teilt oder?
Jo.
> 2. Warum wählst du die Normalteiler als zyklische
> Untergruppen mit H=<x>, zyklisch ist doch gar nicht
> vorgegeben oder?
Nein, aber ich habe doch oben gesagt, dass ich gerade die Gruppen $<x>$ und $<y>$ betrachten möchte, um zu zeigen, dass $xy = yx$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Mo 17.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich will mal Schrittweise das durch exerzieren, keine weiteren Ideen mehr geben, will erstmal nur wissen, ob der Ansatz ok ist.
[mm] gxg^{-1}=a \in [/mm] H
[mm] gyg^{-1}=b \in [/mm] U => [mm] g=bgy^{-1}
[/mm]
Eingesetzt oben folgt daraus:
[mm] bgy^{-1}x(bgy^{-1})^{-1}
[/mm]
Dies liegt sowohl in H als auch in U, soweit in Ordnung?
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> Ich will mal Schrittweise das durch exerzieren, keine
> weiteren Ideen mehr geben, will erstmal nur wissen, ob der
> Ansatz ok ist.
>
> [mm]gxg^{-1}=a \in[/mm] H
>
> [mm]gyg^{-1}=b \in[/mm] U => [mm]g=bgy^{-1}[/mm]
>
> Eingesetzt oben folgt daraus:
>
> [mm]bgy^{-1}x(bgy^{-1})^{-1}[/mm]
>
> Dies liegt sowohl in H als auch in U, soweit in Ordnung?
In $H$ liegt es, ja. Aber wieso sollte es in $U$ liegen?
Die Annahme könntest du sogar sehr schnell zum Widerspruch führen, denn wäre es in beiden drinn so könntest du $x=e$ folgern.
Also die Grundidee ist gut, aber so klappt es leider nicht ganz.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Di 18.09.2012 | | Autor: | AntonK |
x,y [mm] \in [/mm] G x [mm] \in [/mm] H y [mm] \in [/mm] U
=> [mm] yxy^{-1} \in [/mm] H
[mm] xyx^{-1} \in [/mm] U
Somit liegen x und y in H und U, korrekt?
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> x,y [mm]\in[/mm] G x [mm]\in[/mm] H y [mm]\in[/mm] U
>
> => [mm]yxy^{-1} \in[/mm] H
>
> [mm]xyx^{-1} \in[/mm] U
Bis hier hin ja.
> Somit liegen x und y in H und U, korrekt?
Wieso denn das?
Das würde ja (da $H [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{e\}$) [/mm] bedeuten, dass $x=y=e$, was ja nicth stimmt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 18.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich verstehe nicht, wie ein Element geschrieben wird, dass in beiden Normalteilern liegt, ich versuche es mir mal mit [mm] G=\IZ [/mm] und [mm] H=2\IZ [/mm] und [mm] U=4\IZ [/mm] klar zu machen.
3 [mm] \in [/mm] G
Normalteileigenschaft für U:
2 [mm] \in [/mm] H
3+4-3=4 [mm] \in [/mm] H
3+8-3=8 [mm] \in [/mm] U
Sowohl 4 als auch 8 sind in H und U.
Das heißt doch dann eigentlich, dass x=a*y sein muss, damit beide im gleichen Normalteiler liegen. Sprich, das eine muss ein Vielfaches vom anderen sein. Aber das gilt doch nur in [mm] \IZ, [/mm] irgendwie komme ich nicht drauf...
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Wie wäre es denn mit [mm] $xyx^{-1}y^{-1}$.
[/mm]
Überlege dir, wieso dieses Element in beiden Normalteilern liegen muss (indem du geschickt Klammern einfügst) und was das dann bedeutet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 18.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das habe ich oben gesehen, bin aber davon ausgegangen, dass bei [mm] xyx^{-1} [/mm] das x [mm] \in [/mm] G steckt, was doch auch die Definition für Normalteiler ist, ist das nicht widersprüchlich dazu? x muss doch aus G sein und nicht aus dem anderen Normalteiler oder etwas nicht?
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Ja, aber es ist doch $H [mm] \subseteq [/mm] G$.
Damit ist $x [mm] \in [/mm] G$, nur eben ein ganz spezielles Element.
Da aber [mm] $gyg^{-1} \in [/mm] U$ für alle $g [mm] \in [/mm] G$ gilt, gilt es insbesondere für $g=x$.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:04 Mi 19.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich verstehe [mm] yxy^{-1}x^{-1}=yx(xy)^{-1} [/mm]
Das ähnelt [mm] a~b<=>ab^{-1} \in [/mm] H
sprich der Definition. Der einzige Unterschied ist, dass dort yx nicht xy steht. Wenn aber y und x kommutieren, dann gilt die Definition ja, das reicht aber so nicht oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 21.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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