Jedes Polynom in einer Menge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:15 Do 18.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei H := [mm] \{t:[0,\infty]\mapsto\IR | \integral{t^2(x)\cdot exp(-x)\cdot x^2 dx} \mbox{ existiert}\}
[/mm]
Zeigen SIe per Induktion über den Grad, dass jedes Polynom ein Element in H definiert. |
Hallo zusammen,
Sei also [mm] P_n(x) [/mm] ein Polynom n-ten Grades. [mm] P_n(x)=a_n \cdot x^n+...+a_1*x+a_0
[/mm]
Induktionanfang:
[mm] \integral_0^\infty{P_0^2(x)\cdot exp(-x)\cdot x^2 dx}= a_0\integral{exp(-x)\cdot x^2 dx}=2a_0
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \integral_0^\infty{P_{n+1}^2(x)\cdot exp(-x)\cdot x^2 dx}
[/mm]
[mm] =\integral_0^\infty{\left(P_{n}+a_{n+1}\cdot x^{n+1}\right)^2(x)\cdot exp(-x)\cdot x^2 dx}
[/mm]
So, jetzt weiß ich nichtmehr weiter. Natürlich kann ich [mm] \left(P_{n}+a_{n+1}\cdot x^{n+1}\right)^2 [/mm] ausrechnen, erhalte dann auch eines der 3 enstehenden Integrale welches per Induktionsvorraussetzung existiert [mm] (\integral_0^\infty{P_{n}^2(x)\cdot exp(-x)\cdot x^2 dx}), [/mm] aber mit den beiden anderen Teile (Integral über [mm] 2P_{n}a_{n+1}\cdot x^{n+1} [/mm] und Integral über [mm] (a_{n+1}\cdot x^{n+1})^2) [/mm] kann ich nichts anfangen.
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo!
Ich würde es mit partieller Integration versuchen, wobei [mm] x^{2}*t^{2}(x) [/mm] als abzuleitender Faktor dient.
Denk dran, dass für jedes [mm] P_{n+1} [/mm] ein [mm] P_{n} [/mm] existiert, sodass [mm] $P_{n+1} [/mm] = [mm] x*P_{n}$ [/mm] gilt.
Viele Grüße, Stefan.
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> Hallo!
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> Ich würde es mit partieller Integration versuchen, wobei
> [mm]x^{2}*t^{2}(x)[/mm] als abzuleitender Faktor dient.
> Denk dran, dass für jedes [mm]P_{n+1}[/mm] ein [mm]P_{n}[/mm] existiert,
> sodass [mm]P_{n+1} = x*P_{n}[/mm] gilt.
>
> Viele Grüße, Stefan.
Hallo Stefan,
müsste da nicht noch eine Konstante dazu kommen,
also
[mm] P_{n+1} [/mm] = [mm] x*P_n+a_0
[/mm]
LG
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Hallo Al-Chwarizmi,
> müsste da nicht noch eine Konstante dazu kommen,
> also
>
> [mm]P_{n+1}[/mm] = [mm]x*P_n+a_0[/mm]
Natürlich hast du recht 
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Do 18.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
diese Idee hatte ich auch schon, Wenn man allerdings [mm] P_{n+1}=xP_n+a_0 [/mm] schreibt, dann hat man gar kein Teil mehr (da ja jetzt im Integral keine Summe mehr steht, welche man auseinanderziehen könnte), von welchem man per Induktionsvorraussetzung behaupten kann, dass er existiert.
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Rutzel,
> Hallo,
>
> diese Idee hatte ich auch schon, Wenn man allerdings
> [mm]P_{n+1}=xP_n+a_0[/mm] schreibt, dann hat man gar kein Teil mehr
> (da ja jetzt im Integral keine Summe mehr steht, welche man
> auseinanderziehen könnte), von welchem man per
> Induktionsvorraussetzung behaupten kann, dass er
> existiert.
Wenn Du es wieder mit partieller Integration versuchst, kannst du doch auf [mm] P_n [/mm] die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Gruß
Sigrid
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Sa 20.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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