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Also ich habe noch so ein paar kleine Fragen zur Jordan-Normalenform, sowie zur Bestimmung der Jordan-Basis.
1) Man bestimmt das charakteristische Polynom der Matrix
Zerfällt es in Linearfaktoren, dann ist es Jordanisierbar
2)Die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte gibt einem die Größe des Jordanblockes zum jeweiligen Eigenwert an ( Gibt es dazu einen Beweis oder zumindest etwas, woraus das ersichtlich wird?)
3) Nun werden mit ker(A- [mm] \lambda E_n) [/mm] und bestimme die Basis.
=> die Dimension(geometrische velfachheit) gibt an, wieviele Kästchen zum jeweiligen Eigenwert es gibt(wie lässt sich das erschließen?)
4)Man weiß also nun schon so ungefähr wie die jordan-form aussieht-duch Berechnung der Haupträume(=Verallgemeinerte Eigenräume) wird es noch genauer.
5) Also dann werden die Verallgemeinerten Eigenräume ker(A- [mm] \lambda E_n)^n [/mm] .Ist die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert y k, so werden die Verallgemeinerten Eigenräume höchstens bis ker(A- [mm] \lambda E_n)^k [/mm] berechnet. Ändert sich schon vorher der Basis nicht mehr, st schon vorher Schluss aber auch hier..verstehen tue ich nicht, was dahinter steckt) Die Potenz des "letzten" Hauptraumes gibt an, wie lang das größte Jordan- Kästchen ist)
Sei nun t die Potenz des " letzten" Hauptraumes:
Um die Basis zu bestimmen, muss nun aus ker(A- [mm] \lambda E_n)^t [/mm] ein Basisvektor [mm] j_1 [/mm] gewaählt werden, der nicht in ker(A- [mm] \lambda E_n)^{t-1} [/mm] liegt. Dieser wird dann abgeildet mit (A- [mm] \lambda E_n)^{i}, [/mm] mit [mm] 1\ge [/mm] i [mm] \ge [/mm] t-1
[mm] Jordanbasis=
6) fehlende Vektoren berechnen: Man nimmt also jetzt wieder einen Vektor aus [mm] ker(A-\lambdaE_n)^{t-1}, [/mm] der nicht in ker(A- [mm] \lambda E_n)^{t-2} [/mm] liegt usw.
Nun aber meine eigentliche Frage: Stimmt das alles soweit und: Wieso muss ich dieses ganze Prozedere machen um eine Basis zu finden?Wieso ist das überhaupt eine Basis?
Ich hoffe das mir hier jemand bei diesem ganzen Wirrwarr helfen kann..
Lg Sandra
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> Also ich habe noch so ein paar kleine Fragen zur
> Jordan-Normalenform, sowie zur Bestimmung der
> Jordan-Basis.
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> 1) Man bestimmt das charakteristische Polynom der Matrix
> Zerfällt es in Linearfaktoren, dann ist es
> Jordanisierbar
> 2)Die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte gibt einem
> die Größe des Jordanblockes zum jeweiligen Eigenwert an (
> Gibt es dazu einen Beweis oder zumindest etwas, woraus das
> ersichtlich wird?)
> 3) Nun werden mit ker(A- [mm]\lambda E_n)[/mm] und bestimme die
> Basis.
> => die Dimension(geometrische velfachheit) gibt an,
> wieviele Kästchen zum jeweiligen Eigenwert es gibt(wie
> lässt sich das erschließen?)
> 4)Man weiß also nun schon so ungefähr wie die jordan-form
> aussieht-duch Berechnung der Haupträume(=Verallgemeinerte
> Eigenräume) wird es noch genauer.
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> 5) Also dann werden die Verallgemeinerten Eigenräume ker(A-
> [mm]\lambda E_n)^n[/mm] .Ist die algebraische Vielfachheit zum
> Eigenwert y k, so werden die Verallgemeinerten Eigenräume
> höchstens bis ker(A- [mm]\lambda E_n)^k[/mm] berechnet. Ändert sich
> schon vorher der Basis nicht mehr, st schon vorher Schluss
> aber auch hier..verstehen tue ich nicht, was dahinter
> steckt) Die Potenz des "letzten" Hauptraumes gibt an, wie
> lang das größte Jordan- Kästchen ist)
>
> Sei nun t die Potenz des " letzten" Hauptraumes:
>
> Um die Basis zu bestimmen, muss nun aus ker(A- [mm]\lambda E_n)^t[/mm]
> ein Basisvektor [mm]j_1[/mm] gewaählt werden, der nicht in ker(A-
> [mm]\lambda E_n)^{t-1}[/mm] liegt. Dieser wird dann abgeildet mit
> (A- [mm]\lambda E_n)^{i},[/mm] mit [mm]1\ge[/mm] i [mm]\ge[/mm] t-1
>
> [mm]Jordanbasis=
> muss, wenn die Dimension noch nicht mit ker(A- [mm]\lambda E_n)^{t}[/mm]
> übereinstimmt, noch berechnet werden(Wie?-s.u) >
Hallo,
bis hierher ist, wenn ich Dich nirgends mißverstanden habe, alles richtig.
Nun bist Du mit den Haupträumen fertig.
Zu betrachten ist jetzt die Situation, daß noch Vektoren fehlen.
>
> 6) fehlende Vektoren berechnen: Man nimmt also jetzt wieder
> einen Vektor aus [mm]ker(A-\lambdaE_n)^{t-1},[/mm] der nicht in
> ker(A- [mm]\lambda E_n)^{t-2}[/mm] liegt usw.
Diese am Ende fehlenden Vektoren entnimmt man [mm] ker(A-\lambda E_n), [/mm] so daß sie linear unabhängig zu den bereits gefundenen Basisvektoren sind.
Zu Deinen Fragen zum "Warum" verweise ich Dich auf die Literatur. Die JNF hat ja einiges an Vorgeschichte, und es kann leicht sehr umfangreich werden, wenn man es aufrollt.
Ein Stichwort wären z.B. die invarianten Unterräume.
Eine Jordanbasis sucht man, weil man damit eine sehr einfache darstellende Matrix der gerade betrachteten linearen Abbildung erhält, an welcher man die Machart der Abbildung erkennen kann. Das ist bei prall gefüllten Matrizen ja überhaupt nicht der Fall.
Falls Du Dich gerade auf eine Klausur vorbereitest, würde ich an Deiner Stelle ein paar einfache Beispiele zur JNF durchrechnen.
Es kommen in Klausuren nur einfache Beispiele dran, oft solche, wo man anhand der algebraischen und geometrischen Vielfachheiten die JNF schon aufstellen kann.
Ich finde auch, daß man beim "Machen" ganz gut eine Ahnung davon bekommt, wie und warum die Sache funktioniert.
Obgleich mir klar ist, daß ich nicht alle Deine Fragen beantwortet habe, stelle ich die Frage auf "beantwortet",
weil ich den Eindruck habe, daß es Dir vor allem darauf ankam, ob Du die Vorgehensweise bei der JNF richtig verstanden hast.
Falls es Dir doch zu unbefriedigend ist, stell's selbst auf teilweise beantwortet.
Gruß v. Angela
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dANKE fü die Antwort:
Noch eine Frage: Nimmt man dann die fehlednen Vektoren immer aus dem Eiggenraum ker [mm] (A-\lambda E_n) [/mm] und /oder auch aus denen mit dem nächstkleineren t?
Wir haben in der Vorlesung besprochen das es sich bei diesen Basen dann um [mm] \alpha-adaptierte [/mm] Basen handelt, dass heißt, dass diese Basen wieder auf Basiselemente abgebildet werden und niemals 2 verschieden Basiselemente auf eines.
Und damit wäre zumindest gesagt, dass ich durch das abbilden wieder Basiseemente erhalte.
Invariante Unterräume sind doch diejenigen , für die gilt: [mm] \alpha(U) \subset [/mm] U. Der Kern ist ein Unterraum von V. Wenn die jetzt also hier invariant sind, dann muss ja gelten: [mm] ker(A-\lambda E_n) \subset ker(A-\lambda E_n)^2 \subset ker(A-\lambda E_n) ^3\subset......\subset ker(A-\lambda E_n)^n
[/mm]
Hab ich das jetzt so grob richtigg verstanden?
Ich habe eine mündlcihe Prüfung, sodass wenn überhaupt nur ein gaanz einfach Rechenbesipielk drankommt und sonst hintergründe
Lg Sandra
und danke für die schnellen Antworten
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hallo,
ja du hast recht, man nimmt die Basisvektoren immer aus den "höheren" Eigenräumen [mm] $ker(A-\lambda E)^n$, [/mm] denn es gilt offensichtlich
$$
ker(A - [mm] \lambda E)^n \subset [/mm] ker(A - [mm] \lambda E)^{n+1}
[/mm]
$$
wie du richtig erkannt hast, weil der Kern ein invarianter UR ist.
Das Problem ist ja, dass die Dimension deiner einfachen Eigenräume [mm] $ker(A-\lambda \mathbb [/mm] 1)$ zu klein ist (man kann zeigen, dass die Multiplizität eines Eigenwerts [mm] $mult_A(\lambda)$ [/mm] immer größer gleich der Dimension des zugehörigen Eigenraums ist) und du deshalb "aufsteigen" musst. Es gilt immer
$$
[mm] mult_A(\lambda) [/mm] = [mm] dim(\hat E_A(\lambda))
[/mm]
$$
wobei [mm] $\hat E_A(\lambda) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}E_A^i(\lambda)$ [/mm] der verallgemeinerte Eigenraum ist. Das was man in deiner Vorlesung eine [mm] $\alpha$-adaptierte [/mm] Basis genannt hat, heißt in meinem Skript eine angepasste Jordan-Basis. Eine Basis [mm] $B\subset [/mm] V$ heisst Jordan-Basis, wenn [mm] (A-\lambda) [/mm] B [mm] \subset [/mm] B [mm] \cup \{ 0 \}. [/mm] Eine Jordan-Basis heisst angepasst, wenn für jedes $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$
$$
[mm] B_n [/mm] := B [mm] \cap E_A^n(\lambda)
[/mm]
$$
eine Basis von [mm] $E_A^n(\lambda)$ [/mm] ist. Was du also in der Praxis machst, ist diese angepasste Jordan-Basis (oder adaptierte Basis) zu bestimmen.
Viele Grüße
Nick
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