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Hallo!
Ich möchte mein Verständnis von der Jordan-Normalform prüfen und gleichzeitig mir ein einfach zu merkendes Beispiel zurechtlegen für die mündliche Prüfung.
Ich habe mir folgendes gedacht:
Die Matrix [mm] A= \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ist nicht diagonalisierbar. Das kann man zwar auch schon daran erkennen, dass es eine Nullzeile gibt, aber auch daran, dass das charakteristische Polynom [mm] p_A(\lambda)=(-\lambda)^3 [/mm] nur die Nullstelle [mm] \lambda=0 [/mm] mit Vielfachheit 3 hat (d.h. algebraische Vielfachheit = 3) und Eig(A,0)= [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> [/mm] (damit also geometrische Vielfachheit = 1) hat. Mit diesem Wissen kann man auch die Jordan-Normalform aufstellen: Die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der Jordan-Kästchen an und die algebraische Vielfachheit deren Größe. Also sieht J dann so aus:
[mm] J= \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm].
Stimmen meine Überlegungen?
Liebe Grüße,
Lily
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> Hallo!
> Ich möchte mein Verständnis von der Jordan-Normalform
> prüfen und gleichzeitig mir ein einfach zu merkendes
> Beispiel zurechtlegen für die mündliche Prüfung.
> Ich habe mir folgendes gedacht:
> Die Matrix [mm]A= \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> ist nicht diagonalisierbar. Das kann man zwar auch schon
> daran erkennen, dass es eine Nullzeile gibt, aber auch
> daran, dass das charakteristische Polynom
> [mm]p_A(\lambda)=(-\lambda)^3[/mm] nur die Nullstelle [mm]\lambda=0[/mm] mit
> Vielfachheit 3 hat (d.h. algebraische Vielfachheit = 3) und
> Eig(A,0)= [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}>[/mm] (damit also geometrische
> Vielfachheit = 1) hat. Mit diesem Wissen kann man auch die
> Jordan-Normalform aufstellen: Die geometrische Vielfachheit
> gibt die Anzahl der Jordan-Kästchen an und die
> algebraische Vielfachheit deren Größe. Also sieht J dann
> so aus:
Hallo,
Deine JNF at aber zwei Kästchen im Jordanblock zum EW 0:
> [mm]J= \pmat{ \red{0} & \red{1} & 0 \\\red{ 0} &\red{ 0} & 0 \\ 0 & 0 & \green{0} } [/mm].
Mit nur einem Kästchen sieht sie so aus:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
algebr. Vielfachheit: Größe des Jordanblocks,
geometr. Vielfachheit: Anzahl der Kästchen im Block.
LG Angela
>
> Stimmen meine Überlegungen?
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 06.10.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort! Hab mich vertippt, sorry!
Liebe Grüße, Lily
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