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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Jordan-Normalform
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Jordan-Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Do 06.10.2016
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Ich möchte mein Verständnis von der Jordan-Normalform prüfen und gleichzeitig mir ein einfach zu merkendes Beispiel zurechtlegen für die mündliche Prüfung.
Ich habe mir folgendes gedacht:
Die Matrix [mm] A= \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ist nicht diagonalisierbar. Das kann man zwar auch schon daran erkennen, dass es eine Nullzeile gibt, aber auch daran, dass das charakteristische Polynom [mm] p_A(\lambda)=(-\lambda)^3 [/mm] nur die Nullstelle [mm] \lambda=0 [/mm] mit Vielfachheit 3 hat (d.h. algebraische Vielfachheit = 3) und Eig(A,0)= [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> [/mm] (damit also geometrische Vielfachheit = 1) hat. Mit diesem Wissen kann man auch die Jordan-Normalform aufstellen: Die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der Jordan-Kästchen an und die algebraische Vielfachheit deren Größe. Also sieht J dann so aus:
[mm] J= \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm].

Stimmen meine Überlegungen?

Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Jordan-Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 06.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo!
> Ich möchte mein Verständnis von der Jordan-Normalform
> prüfen und gleichzeitig mir ein einfach zu merkendes
> Beispiel zurechtlegen für die mündliche Prüfung.
>  Ich habe mir folgendes gedacht:
>  Die Matrix [mm]A= \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> ist nicht diagonalisierbar. Das kann man zwar auch schon
> daran erkennen, dass es eine Nullzeile gibt, aber auch
> daran, dass das charakteristische Polynom
> [mm]p_A(\lambda)=(-\lambda)^3[/mm] nur die Nullstelle [mm]\lambda=0[/mm] mit
> Vielfachheit 3 hat (d.h. algebraische Vielfachheit = 3) und
> Eig(A,0)= [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}>[/mm] (damit also geometrische
> Vielfachheit = 1) hat. Mit diesem Wissen kann man auch die
> Jordan-Normalform aufstellen: Die geometrische Vielfachheit
> gibt die Anzahl der Jordan-Kästchen an und die
> algebraische Vielfachheit deren Größe. Also sieht J dann
> so aus:

Hallo,

Deine JNF at aber zwei Kästchen im Jordanblock zum EW 0:

>  [mm]J= \pmat{ \red{0} & \red{1} & 0 \\\red{ 0} &\red{ 0} & 0 \\ 0 & 0 & \green{0} } [/mm].

Mit nur einem Kästchen sieht sie so aus:

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]


algebr. Vielfachheit: Größe des Jordanblocks,
geometr. Vielfachheit: Anzahl der Kästchen im Block.

LG Angela


>  
> Stimmen meine Überlegungen?
>  
> Liebe Grüße,
>  Lily


Bezug
                
Bezug
Jordan-Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Do 06.10.2016
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Danke für die schnelle Antwort! Hab mich vertippt, sorry!
Liebe Grüße, Lily

Bezug
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