Jordanisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Jordanisiere die folgende Matrix
[mm] A=\pmat{ -3 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 5 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 1}.
[/mm]
Tipp: [mm] P_{A}(x)=(1-x)^{4}(2-x) [/mm] |
Hallo Leute, also prinzipiell ist mir klar wie das geht. Ich fang mal an:
Die Eigenwerte kenne ich, da ich das char. Polynom kenne. Die sind 1 und 2, wobei 1 vierfache Nullstelle ist.
[mm] Hau(A,2)=Eig(A,2)=ker\pmat{ -5 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & -1}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3}
[/mm]
[mm] =span\vektor{0 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \\ 2}.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Beim Hauptraum zum Eigenwert 1 wird das komplizierter wegen der Vielfachheit der Nullstelle. Fangen wir an:
[mm] Hau(A,1)=ker((A-E_{5})^{4})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 0}=ker(\pmat{1 & 0 & -1 & 1 & 0)}.
[/mm]
Ich brauche also vier Vektoren, die diesen Raum aufspannen. Einer ist sicherlich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Aber wie finde ich die anderen? Ich habe versucht geeignete LGS aufzustellen und deren Lösungen zu benutzen. Leider kommt dann am Ende aber nicht die jordanisierte Matrix raus. Kann mir da jemand helfen? Meine Vektoren sind dann noch:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] In welcher Reihenfolge trägt man die Vektoren dann eigentlich in die Matrix ein?
Grüße
Daniel
|
|
| |
|
> Jordanisiere die folgende Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ -3 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 5 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 1}.[/mm]
>
> Tipp: [mm]P_{A}(x)=(1-x)^{4}(2-x)[/mm]
> Hallo Leute, also prinzipiell ist mir klar wie das geht.
> Ich fang mal an:
>
> Die Eigenwerte kenne ich, da ich das char. Polynom kenne.
> Die sind 1 und 2, wobei 1 vierfache Nullstelle ist.
>
> [mm]Hau(A,2)=Eig(A,2)=ker\pmat{ -5 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & -1}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3}[/mm]
>
> [mm]=span\vektor{0 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \\ 2}.[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Bis hierher ja, ob das weitere richtig ist, steht nicht in meiner Macht das zu beurteilen 
|
|
|
| |
|
Hallo mathmetzsch,
> Jordanisiere die folgende Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ -3 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 5 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 1}.[/mm]
>
> Tipp: [mm]P_{A}(x)=(1-x)^{4}(2-x)[/mm]
> Hallo Leute, also prinzipiell ist mir klar wie das geht.
> Ich fang mal an:
>
> Die Eigenwerte kenne ich, da ich das char. Polynom kenne.
> Die sind 1 und 2, wobei 1 vierfache Nullstelle ist.
>
> [mm]Hau(A,2)=Eig(A,2)=ker\pmat{ -5 & -1 & 4 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -4 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & -1}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -3}[/mm]
>
> [mm]=span\vektor{0 \\ -1 \\ -2 \\ -3 \\ 2}.[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Beim Hauptraum zum Eigenwert 1 wird das komplizierter wegen
> der Vielfachheit der Nullstelle. Fangen wir an:
>
> [mm]Hau(A,1)=ker((A-E_{5})^{4})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -3 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & -2 & 0}=ker(\pmat{1 & 0 & -1 & 1 & 0)}.[/mm]
>
> Ich brauche also vier Vektoren, die diesen Raum aufspannen.
> Einer ist sicherlich [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.[/mm] Aber
> wie finde ich die anderen? Ich habe versucht geeignete LGS
> aufzustellen und deren Lösungen zu benutzen. Leider kommt
> dann am Ende aber nicht die jordanisierte Matrix raus. Kann
> mir da jemand helfen? Meine Vektoren sind dann noch:
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
Bestimme zunächst [mm]ker\left(A-E_{5}\right)[/mm].
Die Dimension dieses Lösungsraumes gibt Dir die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert 1 an.
Nun zu der Frage der weiteren Vektoren. Hier sind dann die Gleichungssysteme
[mm]\left(A-E_{5}\right)^{k}*x_{k}=0_{5}, \ k>0, \ k \in \IN[/mm] zu lösen, bis man 4 Vektoren hat.
Praktischerweise geht man hier so vor:
[mm]\left(A-E_{5}\right)^{k}*x_{k}=\left(A-E_{5}\right)^{k-1}*\left(A-E_{5}\right)*x_{k}=0_{5}[/mm]
Definiert man [mm]x_{k-1}:=\left(A-E_{5}\right)*x_{k}[/mm] mit [mm]x_{k-1}[/mm] Lösung von
[mm]\left(A-E_{5}\right)^{k-1}*x_{k-1}=0_{5}[/mm]
[mm]x_ {k-1}[/mm] nennt man hier den Eigenvektor k-1. Stufe zum Eigenwert 1.
So ist das Gleichungssystem
[mm]\left(A-E_{5}\right)*x_{k}=x_{k-1}[/mm]
zu lösen.
Wobei hier darauf zu achten ist, daß [mm]x_{k} \not\in ker\left(A-E_{5}\right)^{l}, \ 1 \le l < k[/mm] ist.
> In welcher Reihenfolge trägt man die Vektoren dann
> eigentlich in die Matrix ein?
In der Regel so wie man sie berechnet.
Bei paarweise verschiedenen Eigenwerten (hier also 5 verschiedene EWe) ist die Reihenfolge eigentlich egal. Da trägt man die nacheinander in die Matrix ein.
Wenn es jedoch noch Eigenvektoren höherer Stufe gibt, dann muß man die auch dementsprechend eintragen.
Nehmen wir mal an, zu einem Eigenwert c gibt es zu einem Eigenvektor [mm]y_{1}[/mm] noch Eigenvektoren [mm]y_{i}, \ i>1[/mm] höherer Stufe, dann lautet der Eintrag in der Matrix:
[mm]y_{1}, \ \dots \ , \ y_{l}[/mm]
,wobei [mm]y_{i}[/mm] der Eigenvektor i. Stufe ist.
>
> Grüß
> Daniel
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hey Mathepower, danke für deine Antwort. Ich werde das mal mit den GS probieren!
Grüße Daniel
|
|
|
| |
|
Hallo Leute,
noch mal ein Frage zu dieser AUfgabe. Ich habe jetzt gerechnet und gerechnet und bekomme einfach zum Eigenwert 1 nicht die richtigen Hauptraumvektoren. Kann das vielleicht mal jemand mit Maple oder so ausrechnen und hier reinstellen oder auch per Hand? Die Aufgabe treibt mich noch in den Wahnsinn. Hier meine LÖsung, die aber falsch ist:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1},
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Danke! Grüße, Daniel
|
|
|
| |
|
> Hallo Leute,
>
> noch mal ein Frage zu dieser AUfgabe. Ich habe jetzt
> gerechnet und gerechnet und bekomme einfach zum Eigenwert 1
> nicht die richtigen Hauptraumvektoren. Kann das vielleicht
> mal jemand mit Maple oder so ausrechnen und hier
> reinstellen oder auch per Hand? Die Aufgabe treibt mich
> noch in den Wahnsinn. Hier meine LÖsung, die aber falsch
> ist:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},[/mm]
>
> [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1},[/mm]
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
>
> Danke! Grüße, Daniel
Hallo,
ich habe folgendes errechnet:
[mm] Kern(A-E)=<\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}>,
[/mm]
[mm] Kern(A-E)^2=<\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}>
[/mm]
[mm] Kern(A-E)^3=<\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}>.
[/mm]
[mm] Kern(A-E)^4=Kern(A-E)^3
[/mm]
(Ohne Gewähr.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hey Angela, das scheint zu funktionieren! Dankeschön!
Grüße, Daniel
|
|
|
|
