Jordansche Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mo 21.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Es sei [mm] A\in{M}(n\times{n},\IK) [/mm] und f die induzierte lineare Abbildung von [mm] \IK^n [/mm] nach [mm] \IK^n. [/mm] Zeigen sie [mm] \summe_{\lambda Eigenwert von f}dim Eig(f,\lambda)= [/mm] Anzahl der Jordanblöcke in der Jordanschen Normalform von A. |
Hiermit kann ich leider garnix anfangen. Ist damit gemeint, dass die Summe de Dimensionen aller Eigenräume zu f der Anzahl der Jordanblöcke entspricht? Was kann ich denn über die Dimensionen der Eigenräume aussagen, da ich doch die Matrix garnicht genaum kenne?
Eine schnelle Hilfe wäre super...ich bemühe mich dann, das ganze zu verstehen...
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> Es sei [mm]A\in{M}(n\times{n},\IK)[/mm] und f die induzierte lineare
> Abbildung von [mm]\IK^n[/mm] nach [mm]\IK^n.[/mm] Zeigen sie [mm]\summe_{\lambda Eigenwert von f}dim Eig(f,\lambda)=[/mm]
> Anzahl der Jordanblöcke in der Jordanschen Normalform von
> A.
> Hiermit kann ich leider garnix anfangen. Ist damit
> gemeint, dass die Summe de Dimensionen aller Eigenräume zu
> f der Anzahl der Jordanblöcke entspricht?
Hallo,
ja.
> Was kann ich denn
> über die Dimensionen der Eigenräume aussagen, da ich doch
> die Matrix garnicht genaum kenne?
Wenn Du die Matrix und die Dimension ihrer Eigenräume kennst, weißt Du einiges über das Aussehen ihrer Jordannomalform,
und wenn Du die Jordannormalform kennst, weißt Du aus der Anzahl der Blöcke etwas über die Summe der Dimensionen der Eigenräume.
Gruß v. Angela
> Eine schnelle Hilfe wäre super...ich bemühe mich dann, das
> ganze zu verstehen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Di 22.04.2008 | | Autor: | pinked |
Hallo,
ist dann mit der Summe der Dimensionen die Anzahl der einzelnen Summanden gemeint?
Kann ein Eigenwert 2 verschiedene Jordanblöcke beschreiben?
Vielen dank schonmal
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Hallo,
ich sehe gerade, daß hier etwas Verwirrung mit den Begriffen "Blöcke" und "Kästchen" herrscht, vielleicht erklärt das auch die Irritation.
In meiner Sprechweise wären das "Kästchen" in sides Satz.
Wir machen mal ein Beispiel.
Mal angenommen, wir hätten eine 7x7-Matrix A mit dem charakteristischen Polynom
[mm] p_A(x)=(x-7)^3*(x-5)^2(x-3)^2,
[/mm]
dann wüßten wir schonmal, wie die Diagonale der Jordanmatrix aussieht:
[mm] \pmat{ \red{7} & & & & & & \\ & \red{7} & & & & & \\ & &\red{7} & & & & \\ & & & \green{5} & & & \\ & & & & \green{5} & & \\ & & & & &\blue{3} & \\ & & & & & & \blue{3} }.
[/mm]
In meiner Sprechweise hätte ich bei dieser Matrix 3 Jordanblöcke (rot, grün und blau), weil ich drei Eigenwerte habe.
Das, was in sides Aufgabe "Block" heißt, nenne ich "Kästchen", das kommt als nächstes:
Jetzt nehmen wir an, daß wir die Dimensionen der Eigenräume ausgerechnet hätten, etwa
dim [mm] Eig_7=1
[/mm]
dim [mm] Eig_5=2
[/mm]
dim [mm] Eig_3=1.
[/mm]
Daraus wüßte ich
zu 7 - ein Jordan-Kästchen
zu 5 - zwei Jordan-Kästchen
zu 3 - ein Jordan-Kästchen, meine Jordammatrix wäre
[mm] \pmat{ \red{7} &\red{1} & \red{0}& & & & \\ \red{0}& \red{7} & \red{1} & & & & \\ \red{0} &\red{0} &\red{7} & & & & \\ & & & \green{5} & & & \\ & & & & \green{5} & & \\ & & & & &\blue{3} &\blue{1} \\ & & & & &\blue{0} & \blue{3} },
[/mm]
und genau das erzählt sides Satz:
[mm] \summe_{\lambda Eigenwert}dimEig_\lambda=\summe_{\lambda\in \{7,5,3\}}dimEig_\lambda =dimEig_7+dimEig_5+dimEig_3=1+2+1=4= [/mm] Anzahl der Jordankästchen.
> Kann ein Eigenwert 2 verschiedene Jordanblöcke
> beschreiben?
In meienr Sprechweise: pro Eigenwert ein Blöck, welcher sich aber je nach Dimension des entsprechenden Eigenraumes in mehrere Kästchen teilen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Di 22.04.2008 | | Autor: | pinked |
Wow tolle Erklärung, vielen Dank!! Jez muss man das nur noch allgemein zeigen, denke aber das das zu machen ist.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Di 22.04.2008 | | Autor: | JulianTa |
Ich verstehe leider immer noch nicht, was denn Jordan-Kästchen sein sollen. Ich kenne nur Jordan-Blöcke.
Die haben doch die Form [mm] \pmat{ \lambda_i & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_i & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i}. [/mm] Und je nach dualer Partition ergibt sich doch die Länge (bzw. Breite) des jeweiligen Jordan-Blocks zum Eigenwert [mm] \lambda_i. [/mm] Was sollen jetzt Jordan-Kästchen sein?
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> Ich verstehe leider immer noch nicht, was denn
> Jordan-Kästchen sein sollen. Ich kenne nur Jordan-Blöcke.
> Die haben doch die Form [mm]\pmat{ \lambda_i & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_i & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i}.[/mm]
> Und je nach dualer Partition ergibt sich doch die Länge
> (bzw. Breite) des jeweiligen Jordan-Blocks zum Eigenwert
> [mm]\lambda_i.[/mm] Was sollen jetzt Jordan-Kästchen sein?
Hallo,
ich zeige Dir das am Beispiel, dann kannst Du sehen, wie Ihr das nennt.
Neulich gab's eine Studentin, bei der hieß das, was ich Kästchen nenne, Partition, und das, was Du schreibst, deutet daraufhin, daß dies bei Euch auch der Fall ist.
Wir betrachen mal einen Jordanblock zum Eigenwert 7, und ich kennzeichne die Jordankästchen in verschiedenen Farben:
[mm] \pmat{\red{7}& \red{1} & \red{0} & & && \\ \red{0}& \red{7} & \red{1} & & && \\ \red{0}& \red{0} & \red{7} & & && \\ & & & \green{7} & \green{1}&& \\ & & & \green{0} & \green{7}&& \\& & & & &\blue{7}& \\ & & & & &&7}.
[/mm]
Gruß v. Angela
Das sind 4 Jordankästchen der Länge 3,2,1,1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Mi 23.04.2008 | | Autor: | JulianTa |
Ok! Dann hatte ich glaube ich die Form eines Jordanblocks falsch verstanden. Auf der 1. Nebendiagonalen sind also nicht ausschließlich Einsen, sondern, wie in Angelas Beispiel, je nach Partition auch Nullen. Ich mach nochmal ein Beispiel zur Absicherung: Ein Jordanblock zum Eigenwert 9 könnte so aussehen, wenn die zugehörige duale Partition so aussieht: [mm] P\*_9=(3,3,2,1):
[/mm]
[mm] \pmat{\red{9}& \red{1} & \red{0} & & & & & & \\
\red{0}& \red{9} & \red{1} & & & & & & \\
\red{0}& \red{0} & \red{9} & & & & & & \\
& & & \green{9} & \green{1}& \green{0}& & & \\
& & & \green{0} & \green{9}&\green{1}& & & \\
& & & \green{0} & \green{0} & \green{9} & & & \\
& & & & & &\blue{9} & \blue{1} & \\
& & & & & & \blue{0} & \blue{9} & \\
& & & & & & & & 9}
[/mm]
Und in Kästchen-Sprache wäre das: Ein Jordanblock zum Eigenwert 9 mit Jordan-Kästchen 3,3,2,1?
Das heisst doch ausserdem, dass Partitionen zum Eigenwert bspw. 4 nicht so aussehen können: (3,2) oder (1,2) sondern z.B. (1,3) oder (2,2), richtig?
Dann hab ich das schonmal kapiert.
Danke!
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> Ok! Dann hatte ich glaube ich die Form eines Jordanblocks
> falsch verstanden. Auf der 1. Nebendiagonalen sind also
> nicht ausschließlich Einsen, sondern, wie in Angelas
> Beispiel, je nach Partition auch Nullen. Ich mach nochmal
> ein Beispiel zur Absicherung: Ein Jordanblock zum Eigenwert
> 9 könnte so aussehen, wenn die zugehörige duale Partition
> so aussieht: [mm]P\*_9=(3,3,2,1):[/mm]
>
> [mm]\pmat{\red{9}& \red{1} & \red{0} & & & & & & \\
\red{0}& \red{9} & \red{1} & & & & & & \\
\red{0}& \red{0} & \red{9} & & & & & & \\
& & & \green{9} & \green{1}& \green{0}& & & \\
& & & \green{0} & \green{9}&\green{1}& & & \\
& & & \green{0} & \green{0} & \green{9} & & & \\
& & & & & &\blue{9} & \blue{1} & \\
& & & & & & \blue{0} & \blue{9} & \\
& & & & & & & & 9}[/mm]
Hallo,
ja, so könnte ein Jordanblock für 9 aussehen, Voraussetzung hierfür wäre, daß die 9 neunfacher Eigenwert ist.
Wäre die 9 lediglich sechsfacher Eigenwert, so hätte der Jordanblock das Format 6x6, als Kästenkombinationen wären z.B. möglich
6
4,1,1
3,3
und andere.
>
> Und in Kästchen-Sprache wäre das: Ein Jordanblock zum
> Eigenwert 9 mit Jordan-Kästchen 3,3,2,1?
Ja.
> Das heisst doch ausserdem, dass Partitionen zum Eigenwert
> bspw. 4 nicht so aussehen können: (3,2) oder (1,2) sondern
> z.B. (1,3) oder (2,2), richtig?
Die Größe des Jordanblockes zu 4 hängt davon ab, welche alg. Vielfachheit der Eigenwert 4 hat.
Hat er die algebraische Vielfachheit 37, gibt es ziemlich viele Möglichkeiten für Jordankästchen.
Die per Hand zu rechnenden Beispiel sind in der Regel so, daß die Auswahl glücklicherweise sehr eingeschränkt ist.
Wenn die 9 nur ein dreifacher Eigenwert ist, gibt's nicht viele Kombinationsmöglichkeiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Mi 23.04.2008 | | Autor: | JulianTa |
Danke, ich hatte mich unpräzise, nein sogar falsch, ausgedrückt. Ich meinte natürlich, dass ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 4 nur Partitionen wie bspw. (1,3), (2,2), (1,1,1,1) hat. Tschuldigung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 23.04.2008 | | Autor: | side |
Wie genau ist der Zusammenhang zwischen der Dimension eines Eigenraumes und der Anzahl der Jordanblöcke zu dem entsprechenden Eigenwert? Es würde doch genügen zu zeigen:
[mm] dim{Eig}(f,\lambda)=Anzahl [/mm] der Jordanblöcke mit EW [mm] \lambda
[/mm]
oder?Aber wie beweise ich das?
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> Wie genau ist der Zusammenhang zwischen der Dimension eines
> Eigenraumes und der Anzahl der Jordanblöcke zu dem
> entsprechenden Eigenwert? Es würde doch genügen zu zeigen:
> [mm]dim{Eig}(f,\lambda)=Anzahl[/mm] der Jordanblöcke mit EW
> [mm]\lambda[/mm]
> oder?Aber wie beweise ich das?
Hallo,
schau Dir hierfür mal die Jordanblöcke zu [mm] \lambda [/mm] an. Wenn Du genau schaust, siehst Du, daß zu jedem genau ein Eigenvektor gehört.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 18.05.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
hast du (oder jemand anders) eine Antwort gefunden?
Ich bin gerade dabei mich auf eine Klausur vorzubereiten und genau dieser Punkt (warum die Dimension des Eigenraums die Anzahl der Kästchen angibt) ist mir irgendwie nichtmehr klar.
Gruß,
Rutzel
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>
> und genau dieser Punkt (warum die Dimension des Eigenraums
> die Anzahl der Kästchen angibt) ist mir irgendwie nichtmehr
> klar.
Hallo
es wird doch jedes der Kästchen "angeführt" von einem Eigenvektor:
Immer, wenn ein neues Kästchen beginnt, hat man in der entsprechenden Spalte nur auf der Diagonalen einen Eintrag.
Gruß v. Angela
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