Jordansche Normalform bilden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Di 27.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] K^5 [/mm] -> [mm] K^5 [/mm] eine nilpotente lineare Abbildung mit
ker(f) [mm] \subseteq [/mm] im(f).
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von f. |
Hier erstmal mein Lösungsansatz:
da für f: V -> W linear gilt: dim V = dim Ker f + dim Im f.
folgt: dim Ker f < dim Im f -> Ker f [mm] \subset [/mm] Im f.
Bei einer 5x5 Matrix habe ich ja dann noch die möglichkeiten das der Kern die dimension 2 oder 1 hat. Also das Bild 3 oder 4. Da mir die Dimension des Kerns sagt wieviele Jordanblöcke ich habe können es also 1 oder 2 Blöcke sein.
==> A= [mm] \delta_{5}(0)
[/mm]
oder A= [mm] \delta_{4}(0) \oplus \delta_{1}(0) [/mm] , A= [mm] \delta_{3}(0) \oplus \delta_{2}(0)
[/mm]
An dieser Stelle hapert es, ich krieg einfach keine der Möglichkeiten ausgeschlossen. Hat evt. jemand nen denkanstoß parat?
Danke im Vorraus, die Maxi
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> Bei einer 5x5 Matrix habe ich ja dann noch die
> möglichkeiten das der Kern die dimension 2 oder 1 hat.
Hallo,
sei die Dimension des Kernes von f =1.
Welche Dimension kann dann der Kern von [mm] f^2 [/mm] höchstens haben?
Und der von [mm] f^4?
[/mm]
Denke nun übers Minimalpolynom nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 29.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
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> > Bei einer 5x5 Matrix habe ich ja dann noch die
> > möglichkeiten das der Kern die dimension 2 oder 1 hat.
>
> Hallo,
>
> sei die Dimension des Kernes von f =1.
>
> Welche Dimension kann dann der Kern von [mm]f^2[/mm] höchstens
> haben?
>
> Und der von [mm]f^4?[/mm]
>
> Denke nun übers Minimalpolynom nach.
>
> Gruß v. Angela
So weit ich weiß bilden die Kerne eine aufsteigende Kette, d.h.
Ker(f) [mm] \subseteq Ker^2(f) \subseteq [/mm] ...
Wenn das hier anwendbar ist kann ich doch gar nicht aussagen wie groß der kern von [mm] f^2 [/mm] höchstens sein kann.
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> So weit ich weiß bilden die Kerne eine aufsteigende Kette,
> d.h.
> Ker(f) [mm]\subseteq Ker^2(f) \subseteq[/mm] ...
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> Wenn das hier anwendbar ist kann ich doch gar nicht
> aussagen wie groß der kern von [mm]f^2[/mm] höchstens sein kann.
Hallo,
das mit der aufsteigenden Kette stimmt.
Du kannst aber auch zeigen, daß [mm] dimKerng^2\le2*dimKerng [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 30.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
Hmm diese Formel hatten wir noch nicht, aber ich kann mich ja an die aufsteigende Kette anlehnen.
Aber selbst dann fehlt mir noch total das wissen was der Kern mit dem Minimalpolynom zu tun hat. Kannst du mir evt. den zusammenhang davon erklären?
danke im vorraus, die Maxi
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Hallo,
ich fürchte, ich habe Dich aufgrund eines falschen Gedankens auf eine falsche Fährte gelockt, was mir leid tut.
Du hattest ja gleich zu Anfang die möglichen drei JNF-Kandidaten angegeben.
Die schauen wir uns jetzt mal an.
[mm] J_1=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 &0\\0 & 0 & 1 & 0 &0\\0 & 0 & 0 & 1 &0\\0 & 0 & 0 & 0 &1\\0 & 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] J_2=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 &0\\0 & 0 &1 & 0 &0\\0 & 0 & 0 & 1 &0\\0 & 0 & 0 & 0 &1\\0 & 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] J_3=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 &0\\0 & 0 &0 & 0 &0\\0 & 0 & 0 & 1 &0\\0 & 0 & 0 & 0 &1\\0 & 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
Die [mm] J_2 [/mm] kann man ausschließen, denn hier ist ja der erste Basisvektor im Bild nicht enthalten.
Gruß v. Angela
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