K-Schar Horner Sch. doppl. NSt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 05.06.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Für welches k hat die Funktion eine doppelte Nullstelle?
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^3 +x^2 [/mm] +kx - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
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Moin,
ich habe Probleme bei der Lösung der o.g. Aufgabe.
Zunächst suche ich die Nullstellen von [mm] f_{k}(x), [/mm] d.h. ich setze
[mm] f_{k}(x) [/mm] = 0
0 = [mm] \bruch{1}{3}x^3 +x^2 [/mm] +kx - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
0 = [mm] x^3 +3x^2 [/mm] +3kx -4
Wenn die Funktion eine "doppelte" Nullstelle hat, hat sie auch eine einfache, die ich bei x=a annehme...
Mithilfe des Horner Schemas erhalte ich
[mm] (x^3 +3x^2 [/mm] +3kx -4) :(x-a)
1 --- 3 ------ 3k ----------------- -4
a --- [mm] 3a+a^2 [/mm] --------- [mm] 3ka+3a^2+a^3 [/mm]
1 --- 3+a --- [mm] 3a+a^2+3k [/mm] ---- [mm] 3ka+3a^2+a^3-4 [/mm] = 0
Restpolynom: [mm] x^2 [/mm] + (3+a)*x [mm] +3k+3a+a^2 [/mm]
Das setze ich gleich null... um die zweite / dritte Nullstelle zu finden...
[mm] x^2 [/mm] + (3+a)*x [mm] +3k+3a+a^2 [/mm] = 0
[mm] x_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{3+a}{2} \pm \wurzel{(\bruch{3+a}{2})^2 - (3k+3a+a^2})
[/mm]
Zwei Ideen:
eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn
1. die Diskriminante =0 ist
2. eine weitere Lösung a ist.
zu 1.
0 = [mm] \bruch{9+6a+a^2-12k-12a-4a^2}{4}
[/mm]
0 = [mm] -3a^2-6a+9 [/mm] -12k
0 = [mm] a^2 [/mm] +2a +4k
k = [mm] \bruch{-a^2-2a+3}{4}
[/mm]
zu 2.
- [mm] \bruch{3+a}{2} [/mm] + D = a
D = [mm] \bruch{3(a+1)}{2}
[/mm]
=> [mm] \wurzel{-3a^2-6a+9-12k} [/mm] = 3a+3 (Zählerbetrachtung)
[mm] -3a^2-6a-9-12k [/mm] = [mm] 9a^2 [/mm] +18a +9
-12k = [mm] 12a^2 [/mm] +24a +18
k = [mm] -a^2 [/mm] -2a [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
Stimmt das soweit? Gibt es vielleicht eine einfacherere Lösung?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo hase-hh,
> Stimmt das soweit?
Beim Drüberschauen finde ich keinen Fehler. Gründlich nachgerechnet habe ich's freilich nicht.
Dummerweise hängt ja immer noch das a da rum.
> Gibt es vielleicht eine einfacherere Lösung?
Alternatividee:
Die Extrempunkte bestimmen.
Und dann k so wählen, dass die y-Koordinate jeweils eines Extrempunktes gleich null wird.
Ob das letzlich einfacher wird, überschaue ich jetzt nicht, aber zumindest muss man sich nicht mit der zusätzlichen Unbekannten rumschlagen.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Do 05.06.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo Hase-hh!
Kleiner Tipp: Wenn ein Polynom eine doppelte Nullstelle hat, dann hat auch die Ableitung diese Nullstelle!
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Da wie erwähnt auch die Ableitung eine Nullstelle hat, muss gelten
f' [mm] (x)=x^2+2x+k
[/mm]
Wie man sieht hat f'(x) für k=0 zwei Nullstellen nämlich x = 0 und x = -2.
x=0 scheidet als dopplete Nullstelle aus, somit bleibt x=-2.
Dass dies die Lösung ist, erkennt man durch Einsetzen oder Rechnung mit dem Hornerschema!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Fr 06.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Moin hase-hh,
Du hast die beiden Gleichungen:
I [mm] $f(x)=\bruch{1}{3}x^3+x^2+kx=\bruch{4}{3}$
[/mm]
II [mm] $f'(x)=x^2+2x+k=0$
[/mm]
Aus der II. gewinnst Du dein x in Abhängigkeit von k:
[mm] $x_{1,2}=-1\pm\wurzel{1-k}$
[/mm]
welches Du in I einsetzt:
[mm] $\bruch{1}{3}(-1\pm\wurzel{1-k})^3+(-1\pm\wurzel{1-k})^2+k(-1\pm\wurzel{1-k})-\bruch{4}{3}=0$
[/mm]
[mm] $k^3-\bruch{3}{4}k^2+6k=0$
[/mm]
Da gibt es nur eine reelle Lösung:
k = 0
LG, Martinius
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