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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mi 29.11.2006 | | Autor: | aineias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass das Produkt V x W := {(v, w) / v [mm] \in [/mm] V, w [mm] \in [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W} durch die Verknüpfungen
(v, w) + (v´, w´) := (v + v´, w + w´),
[mm] \lambda [/mm] (v, w) := ([mm] \lambda [/mm]v, [mm] \lambda [/mm]w) ([mm] \lambda [/mm] K, v [mm] \in [/mm] V, w [mm] \in [/mm] W) |
hallöchen allerseits...
also ich verstehe folgendes mal wieder nicht..:(!!! und zwar muss man hierfür die axiome anwenden jedoch haben wir bis jetzt nur die axiome bzgl. eine verknüpfung von einem vektor mit einem körper gemacht; siehe: K x V ----> V und die axiome die sich hier aus ergeben, also abelsche gruppe usw...
wie soll ich aber hierfür einen zusammenhang erkennen??? ich meine jetzt habe ich ein produkt mit ZWEI vektoren! wie soll das denn gehen???
hoffe kann mir hierbei helfen..!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gruss aineias
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Hallo!
Keine Panik... gemeint ist nur folgendes: Du betrachtest das (kartesische) Produkt der Mengen $V$ und $W$, also in Worten die Menge aller Paare:
$V [mm] \times [/mm] W = [mm] \{ (v,w) : v \in V, w \in W\}$
[/mm]
Du versuchst also nicht, die Vektoren irgendwie zu multiplizieren (obwohl das Wort "Produkt" dies vermuten lassen könnte), sondern schaust Dir einfach Paare von Vektoren an, die friedlich nebeneinanderstehen, aber ansonsten nichts miteinander zu tun haben.
Die Aussage ist nun, dass diese Menge der Paare gebildet aus den Vektoren zweier $K$-Vektorräume selbst wieder ein $K$-Vektorraum ist. Die Definition von Addition und Skalarmultiplikation ist angegeben - Du musst nur nachrechnen, dass die Vektorraum-Axiome erfüllt sind.
Zum Beispiel sollte es ein Nullelement in Deinem neuen Vektorraum geben. Es gibt aber einen Nullvektor in $V$ (nennen wir ihn mal [mm] $0_V$) [/mm] und ebenso einen Nullvektor in $W$ [mm] ($0_W$) [/mm] und ich behaupte, dass das Paar [mm] $(0_V, 0_W) \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ der Nullvektor in dem neuen Vektorraum ist.
Begründung: Für ein beliebiges Paar $(v,w) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ gilt nach Definition
$(v,w) + [mm] (0_V,0_W) [/mm] = (v + [mm] 0_V,w [/mm] + [mm] 0_W) [/mm] = (v,w)$.
Beachte, dass die + Zeichen innerhalb der Klammer die Addition in $V$ bzw. $W$ darstellen!
Alles klar? Nicht verwirren lassen, es ist wirklich ganz einfach. 
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 30.11.2006 | | Autor: | aineias |
hallo lars, erstmal vielen dank für deine hilfe!!
habe allerdings noch eine frage...
so wie ich es jetzt verstanden habe, solle ich alle axiome durchgehen;
wenn ich mir allerdings den ersten axiom: (x + y) + z = x + (y + z) anschaue, weiss ich nicht was ich für z einsetzen soll, soll ich mir da etwa ein vektor ausdenken??
mfg aineias
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