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| Aufgabe | In welchem der folgenden Beispiele von Teilmengen des [mm] \IR^{3} [/mm] bzw. des [mm] \IF^{4}_{2} [/mm] gilt:
[mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V : [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w [mm] \in [/mm] V
Prüfen Sie die Eigenschaft bzw. finden Sie ein Gegenbeispiel!
(a) K:= [mm] \IR [/mm] und V:= { [mm] (x,y,z)\in\IR^{3}|x-3y+2z=0 [/mm] und x+y-z=0 } |
Kann mir da vieleicht jemand helfen? Wie soll ich die Eigenschaft denn Prüfen? wie schreib ich sowas auf? ein Gegenbeispiel finden geht ja vieleicht eher noch, aber wie zeig ichs, wenns stimmt?
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> In welchem der folgenden Beispiele von Teilmengen des
> [mm]\IR^{3}[/mm] bzw. des [mm]\IF^{4}_{2}[/mm] gilt:
>
> [mm]\forall \lambda, \mu \in[/mm] K [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V : [mm]\lambda[/mm] v +
> [mm]\mu[/mm] w [mm]\in[/mm] V
>
> Prüfen Sie die Eigenschaft bzw. finden Sie ein
> Gegenbeispiel!
>
> (a) K:= [mm]\IR[/mm] und V:= { [mm] (x,y,z)\in\IR^{3}|x-3y+2z=0 [/mm] und
> x+y-z=0 }
Hallo,
mach Dir klar, daß in V genau alle Elemente [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}aus \IR^3 [/mm] sind, welche das Gleichungssystem
[mm] x_1-3x_2+2x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2-x_3=0 [/mm]
lösen, für welche also
[mm] \pmat{ 1 & -3&2 \\ 1 & 1&-1\\0&0&0}*x=0 [/mm] gilt.
Nun sagst Du: seien v,w [mm] \in [/mm] V.
Um herauszufinden, ob $ [mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] $ K $ [mm] \forall [/mm] $ v,w $ [mm] \in [/mm] $ V : $ [mm] \lambda [/mm] $ v + $ [mm] \mu [/mm] $ w $ [mm] \in [/mm] $ V stimmt,
mußt Du nachschauen, ob $ [mm] \lambda [/mm] $ v + $ [mm] \mu [/mm] $ w Lösung des Gleichungssystems ist, ob also
[mm] \pmat{ 1 & -3&2 \\ 1 & 1&-1\\0&0&0}*( \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w )=0 stimmt.
Dabei mußt Du bedenken, daß aufgrund der Tatsache, daß v,w dem V entstammen, die beiden das System lösen.
Gruß v. Angela
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Wie schaut man ob [mm] \lambda*v [/mm] + [mm] \mu*w [/mm] das system löst??
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> Wie schaut man ob [mm]\lambda*v[/mm] + [mm]\mu*w[/mm] das system löst??
Indem man nachrechnet, bedenke, daß [mm] f_A:\IR^3--> \IR^3 [/mm] mit f(x):=Ax eine lineare Abbildung ist.
[mm] A*(\lambda*v[/mm] [/mm] + [mm]\mu*w[/mm]) =...
Gruß v. Angela
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ich versteh da garnix ... wie soll ich denn da nachrechnen??
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In Deiner Menge V sind alle Vektoren x, für die Ax=0 gilt.
Seine nun v,w [mm] \in [/mm] W. Dann ist Av=0 und Aw=0,
und Du mußt nun ausrechnen, was [mm] A(\lambda [/mm] v+ [mm] \mu [/mm] w) ergibt.
Falls das =0 ist, ist [mm] \lambda [/mm] v+ [mm] \mu w\in [/mm] V.
Gruß v. Angela
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jep das ist mir schon klar, aber wie rechne ich aus, was [mm] A*(\lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w ) ist? das versteh ich irgendwie nicht, wie ich das konkret ausrechnensoll.....
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> jep das ist mir schon klar, aber wie rechne ich aus, was
> [mm]A*(\lambda[/mm] v + [mm]\mu[/mm] w ) ist? das versteh ich irgendwie
> nicht, wie ich das konkret ausrechnensoll.....
Hallo,
also erstens mal hindert Dich doch kein Mensch daran,
[mm] \pmat{ 1 & -3&2 \\ 1 & 1&-1\\0&0&0}(\lambda \vektor{v_1 \\ v_2\\ v_3}+\mu \vektor{w_1 \\ w_2\\ w_3}) [/mm] auszurechnen, wo ist da das Problem?
Aber soviel Schreiberei ist überhaupt nicht nötig.
Wenn Du nur ein bißchen was übers rechnen mit Matrizen weißt hast Du aus [mm] A*(\lambda[/mm] [/mm] v + [mm]\mu[/mm] w ) schnell etwas, wo Av und Aw drin vorkommen.
Gruß v. Angela
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