K-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 23.05.2006 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | (a) Sei V ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum von V .
Zeige:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \lambda \in [/mm] K : [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] = 0 [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] U)
(b) Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Definiere:
k(V) := max{n [mm] \in \IN [/mm] | [mm] \exists V_{0},... V_{n} \subseteq [/mm] V Untervektorraeume : [mm] V_{0} \not\subseteq V_{1} \not\subseteq V_{n}}
[/mm]
Beweise: k(V ) = dim(V ).
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brauche ein guten TIPP für´n Lösungsweg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 23.05.2006 | | Autor: | goeba |
| Aufgabe | | Nachfrage zur Aufgabenstellung |
Hallo,
Du verwendest am Ende das Zeichen "Nicht enthalten in", müsste das nicht "echt enthalten in" sein?
VlG
Andreas
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zu a) Vektorräume sind abgeschlossen bzgl skalarer Multiplikation!
zu b) 1.) auf dem Aufgabenblatt ist schon ein Hinweis
2.) falls der euch nicht gefällt/nicht hilft: ihr könnt auch erst
[mm] k(V)\le{} [/mm] dim(V) und dann [mm] dim(V)\le{}k(V) [/mm] zeigen. Daraus folgt
dann auch die Behauptung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:41 Mi 24.05.2006 | | Autor: | toggit |
ich bin sehr dankbar, aber ich verstehe nicht ganz diese def. von k(V) und damit gleich habe problem wie soll ich das teil b beweisen....
bitte um hilfe
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Hallo und guten Morgen,
also die Def. des k(V) ist zumindest nicht ganz richtig wiedergegeben, es soll ja heissen:
[mm] k(V)=\max\{n\in\IN_{0}|\exists \: Unterräume\:\: V_0\subsetneq V_1\subsetneq\ldots \ldots subsetneq V_n\subseteq V\}
[/mm]
Nun sollte man da ja wohl [mm] dim(V)<\infty [/mm] voraussetzen, richtig ? Denn sonst existiert ja dieses Maximum schlicht und ergreifend nicht.
Aber mit dieser Voraussetzung sollte es dann doch gehen:
Nimm eine Basis [mm] B=\{b_1,\ldots , b_n\} [/mm] von V, setze [mm] V_0=\{0\}, V_i=Span(b_1,\ldots [/mm] , [mm] b_i), \: 1\leq i\leq [/mm] n.
Das zeigt [mm] k(V)\geq [/mm] dim (V).
Für die andere Richtung nimm halt Vektoren [mm] v_i\in V_i\setminus V_{i-1}, 1\leq i\leq [/mm] n
und zeige, dass diese linear unabhängig sind.
Viel Erfolg,
Mathias
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