K-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 14.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Hallo miteinander.
Erstmal noch mal vielen Dank für die Hilfe beim letzten Mal. Hat mir sehr geholfen.
Aber nun habe ich mal wieder ein Problem bei den Hausaufgaben.
also die Aufgabe lautet:
Es sei K ein Körper und n Element der Natürlichen Zahlen. Im K-Vektorraum V=Kn x 1 seien zwei Teilräume U=<u1,...,ur> und W=<w1,...,wt> gegeben. Weiter sei m=r+t und
A=(u1...ur w1... wt)
(u1...ur 0... 0)
Element von K2n x m.
Zeigen sie: Bringt man A durch elementare Spaltenumformungen auf die Form
A'=(v1...vl 0 ... 0)
(* .... * y1...ym-1)
wobei die Folge (v1,....,vl)in Kn x 1 linear unabhängig ist, so ist (v1,....,vl) eine Basis von U+W und die Folge (y1...ym-1) ein Erzeugendensystem und, falls dimU=r und dimW=t ist, sogar eine Basis von U geschnitten W.
Anleitung: Betrachten sie die abbildung pi: SR(A) ---> Kn x 1 mit pi([x,y])=x. ([x,y] ist ein Vektor mit einer Spalte und zwei Zeilen)
Zeigen sie, dass pi linear, Bild pi =U+W und Kern pi ={[0,y]|y Element von U geschnitten W} ist. ([0,y] ist auch ein Vektor mit einer Spalte und zwei Zeilen).
Mein Problem liegt schon darin, dass ich nicht genau weiß wie die Matrix A und A ' aussehen. Stehen z.B in A in der ersten Spalte dann nur u1? Könntet ihr mir vielleicht helfen und eine Lösungstipp geben?
Ich hoffe ihr könnt das so einigemaßen verstehen, ich weiß leider nicht so richtig wie ich Matrizen und Vektoren so richtig aufschreiben kann. Schon im Vorraus danke.
Jessica
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 So 14.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Also das pi linear ist und Bild pi =U+W ist habe ich mittler Weile beweisen könnnen. Aber im Moment weiß ich nicht wie ich beweisen soll, dass bei Kern pi das y Elemnet von der Schnittmenge von U und W sein muss, damit der Verktor (0,y) in Kern pi liegt.
Vielleicht könntet ihr mir ja da weiter helfen. Jessica.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jessica,
zunächst einmal wäre es schön, wenn du uns das, was du bereits gezeigt hast, hier darstellen könntest. Das erspart uns Arbeit und zeigt uns, ob du es richtig (und wirklich verstanden) hast. Sonst argumentiert man hier etwas im luftleeren Raum. Hole das bitte noch nach.
Jetzt zu der fehlenden Aussage:
Es ist ja nach Konstruktion klar, dass
[mm]\mbox{Kern}(\pi) \subset \left\{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right) \, : \, y \in U\right\}[/mm]
Ich zeige nun zunächst:
[mm]\mbox{Kern}(\pi) \subset \left\{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right) \, : \, y \in U \cap W\right\}[/mm].
Für einen Vektor [mm]x \in \mbox{Kern}(\pi)[/mm] gibt es [mm]\lambda_1,\ldots,\lambda_r,\mu_1,\ldots,\mu_t \in \IK[/mm] mit
[mm] x = \left( \begin{array}{c} \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r + \mu_1 w_1 + \ldots \mu_t w_t \\ \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r \end{array} \right)[/mm]
und
[mm]\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r + \mu_1 w_1 + \ldots \mu_t w_t= 0[/mm].
Daraus folgt aber:
[mm] \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r = - \mu_1 w_1 - \ldots -\mu_t w_t \in U \cap W[/mm],
also:
[mm] x = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r \end{array} \right)[/mm]
mit
[mm]\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_r u_r \in U \cap W[/mm].
Die Umkehrung
[mm]\mbox{Kern}(\pi) \supset \left\{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right) \, : \, y \in U \cap W\right\}[/mm].
ist nach Konstruktion trivial.
Daher gilt:
[mm]\mbox{Kern}(\pi) = \left\{ \left( \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right) \, : \, y \in U \cap W\right\}[/mm].
Wie geht es denn jetzt weiter?
Das ist mir, ehrlich gesagt, im Moment selber nicht klar. (Dir, Marc?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica und Stefan,
> Das ist mir, ehrlich gesagt, im Moment selber nicht klar. (Dir,
> Marc?)
Die Hilfsaussagen über die Abbildung pi sind doch damit bewiesen, oder?
Und jetzt geht es um die Anwendung dieser Abbildung auf das eigentlich zu zeigende, oder?
Eins noch vorweg: Was soll denn das "SR" heißen in:
pi: SR(A) ---> Kn x 1
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
> Die Hilfeaussagen über die Abbildung pi sind doch damit
> bewiesen, oder?
Ja.
> Und jetzt geht es um die Anwendung dieser Abbildung auf das
> eigentlich zu zeigende, oder?
Genau, aber dieser Schritt ist mir nicht klar.
> Eins noch vorweg: Was soll denn das "SR" heißen in:
> pi: SR(A) ---> Kn x 1
Spaltenraum, also der Unterraum, der von den Spaltenvektoren von [mm]A[/mm] erzeugt wird.
Hast du eine Idee?
Alles Gute
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo,
und
A'=(v1...vl 0 ... 0)
(* .... * y1...ym-1)
müßte eigentlich
A'=(v1...vl 0 ... 0)
(* .... * y1...ym-l)
heißen, stimmt's? (Also "m-l" statt "m-1")
Gruß,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
ja, das war mir auch schon aufgefallen. War vermutlich auf dem Aufgabenblatt schwer zu entziffern... 
Alles Gute
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo,
die Hilfsabbildung pi sagt ja was über die elementaren Spaltenumformungen der Matrix A aus, da SR(A) doch gerade der Vektorraum ist, der durch elementare Spaltenumforumungen (=Linearkombination der Spaltenvektoren) entsteht.
Also sagt pi doch folgendes: Egal welche Spaltenumformungen mit der Matrix A vorgenommen werden, der Raum, der von den Spaltenvektoren mit den Komponenten aus der oberen Hälfte von A (diese Vektoren sind aus dem Kn x 1) aufgespannt wird, ist U+W (da Bild(pi)=U+W)
Das habt ihr doch schon gezeigt.
Jetzt hat die Matrix A' (deren Spaltenvektoren aus SR(A) genommen sind) in der oberen Hälfte gerade die Spaltenvektoren
v1 ... vl 0 ... 0
also spannen diese m Vektoren U+W auf.
Da von v1 ... vl lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt ist, bilden sie natürlich auch eine Basis.
Genauso trivial ist dann doch die zweite Behauptung, dass "die Folge (y1...ym-l) ein Erzeugendensystem von U geschnitten W ist", denn A' hat in der rechten oberen Hälfte seiner Spaltenvektoren Nullen stehen, damit liegen -- laut pi -- y1 ... ym-l im Kern von pi und spannen [mm] U\cap W[/mm] auf.
Die Behauptungen über die Dimension und Basis sind mir noch nicht klar, ich stelle die vorherigen Überlegungen aber schon mal ins Kreuzfeuer.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
ja, ich kann deinen Überlegungen so halbwegs folgen, aber dieses hier:
> Genauso trivial ist dann doch die zweite Behauptung, dass "die
> Folge (y1...ym-l) ein Erzeugendensystem von U geschnitten W
> ist", denn A' hat in der rechten oberen Hälfte seiner
> Spaltenvektoren Nullen stehen, damit liegen -- laut pi --
> y1 ... ym-l im Kern von pi und spannen [mm]
> U\cap W[/mm] auf.
verstehe ich noch nicht. Klar, [mm]y_1,\ldots,y_{m-l}[/mm] liegen in [mm]U \cap W[/mm]. Aber warum spannen sie [mm]U \cap W[/mm] auf?
Könntest du das vielleicht nochmal erklären?
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc!
Okay, ich Idiot, ist klar.
Weil die [mm]v_1,\ldots,v_l[/mm] als unabhängig vorausgesetzt wurden. Gäbe es nichttriviale [mm]\lambda_1,\ldots,\lambda_l \in \IK[/mm] mit
[mm]\lambda_1 (v_1,\*) + \ldots + \lambda_l (v_l,\*) \in \mbox{Kern}(\pi)[/mm],
so hätte man natürlich einen Widerspruch.
Sorry!!!
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
da hatte ich es mir wohl etwas zu einfach gemacht; es war auch nur ein kurzer Moment, in dem mir alles klar war (wahrscheinlich sogar mit falscher Begründung). Aber du hast es ja jetzt schön begründet.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc!
> Die Behauptungen über die Dimension und Basis sind mir noch
> nicht klar
Mir jetzt aber (endlich) :
Dann gilt nämlich nach der Dimensionsformel für Untervektorräume:
[mm] m [/mm]
[mm] = r + t[/mm]
[mm]= dim(U) + dim(W)[/mm]
[mm]= dim(U+W) + dim(U \cap W)[/mm]
[mm] = l + dim(U \cap W)[/mm],
was zu
[mm]dim(U \cap W) = m-l[/mm]
und damit zur Behauptung führt (da [mm](y_1,\ldots,y_{m-l}[/mm] ja bereits als Erzeugendensystem nachgewiesen wurde und jetzt, da es die richtige Länge hat, als Basis erkannt wird).
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
stimmt, da hätte ich auch drauf kommen sollen.
Gut, dann ist die Aufgabe doch jetzt gelöst, oder?
Viele Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
> Gut, dann ist die Aufgabe doch jetzt gelöst, oder?
Ja, vielen Dank für deine Hilfe! Ich hatte die Ampel schon auf grün geschaltet.
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Mein Problem liegt schon darin, dass ich nicht genau weiß wie
> die Matrix A und A ' aussehen. Stehen z.B in A in
> der ersten Spalte dann nur u1? Könntet ihr mir
die Matrix A hat ja 2n Zeilen und m Spalten; in der ersten Spalte steht übereinander geschrieben zwei Mal der Vektor u1, genauso wurden die restlichen Spalten gebildet.
Viele Grüße,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 14.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Hallo mit einander. Danke für eure Hilfe.
Habe erst jetzt wieder nachgeschaut. Also jetzt meine Beweise:
Das pi linear ist habe ich so bewiesen:
pi([x,y]+[x',y'])=pi([x+x',y+y'])=x+x' = pi([x,y])+pi([x',y'])
und
pi(s[x,y])=phi([sx,sy])=sx=s*pi([x,y])
somit ist pi linear.
Das Bild pi =U+W ist habe ich jetzt so bewiesen:
Den Spaltenraum der Matrix A habe ich jetzt so aufgefasst, dass
SR(A)=<[u1,u1],[u2,u2],...,[ur,ur],[w1,0],...,[wt,0]> mit [a,b]Element von K2nx1
Somit SR(A)=k1[u1,u1]+.....+kr[ur,ur]+kr+1[w1,0]+....+km[wt,0]
Somit ist pi(SR(A))=<u1,..,ur>+<w1,...,wt>=U+W da pi ja linear ist.
Das Kern pi={[0,y]|yElement von U geschnitten W} ist habe ich dann so bewiesen:
Da ja in Kern pi alle [x,y] mit pi([x,y])=0 ist muss x=0 sein.
Somit haben alle die Gestalt [0,y]. Da ja alle [0,y] Element des Spaltenraumes von A sein müssen. Lässt sich [0,y] auch durch die Linearkombination der Vektoren des Spaltraumes darstellen. Somit bin ich dann darauf gekommen, das y Element von U ist.
Dann habe ich die Matrix A mit elementare Zeilenumformung so umgeformt, das A wie folgt aussieht.
A=(u1... ur w1 ... wt)
(0 ... 0 w1 ... wt)
Da sich der Spaltenraum durch elementare Zeilenoperation nicht verändert kann man y auch durch die Linearkombination der Spalten der neuen Matrix darstellen.
Somit hatte ich dann auch gezeigt, dass y Element von W ist.
Da beides gleichzeitig gelten muss, muss y foplglich in U geschnitten W liegen. Somit hatte ich dann alles aus der Anleitung bewiesen.
Wäre das denn so richtig?
Also den restlichen Lösungsweg von euch schaue ich mir dann jetzt mal richtig an. Habe ihn nur ganz kurz überflogen.
Trotzdem schon vielen Dank im vorraus.
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Das pi linear ist habe ich so bewiesen:
>
> pi([x,y]+[x',y'])=pi([x+x',y+y'])=x+x' = pi([x,y])+pi([x',y'])
>
> und
>
> pi(s[x,y])=phi([sx,sy])=sx=s*pi([x,y])
>
> somit ist pi linear.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das Bild pi =U+W ist habe ich jetzt so bewiesen:
>
> Den Spaltenraum der Matrix A habe ich jetzt so aufgefasst, dass
> SR(A)=<[u1,u1],[u2,u2],...,[ur,ur],[w1,0],...,[wt,0]> mit
> [a,b]Element von K2nx1
>
> Somit SR(A)=k1[u1,u1]+.....+kr[ur,ur]+kr+1[w1,0]+....+km[wt,0]
>
> Somit ist pi(SR(A))=<u1,..,ur>+<w1,...,wt>=U+W da pi ja linear
> ist.
, gefällt mir gut.
> Das Kern pi={[0,y]|yElement von U geschnitten W} ist habe ich
> dann so bewiesen:
>
> Da ja in Kern pi alle [x,y] mit pi([x,y])=0 ist muss
> x=0 sein.
> Somit haben alle die Gestalt [0,y]. Da ja alle [0,y] Element
> des Spaltenraumes von A sein müssen. Lässt sich [0,y] auch
> durch die Linearkombination der Vektoren des Spaltraumes
> darstellen. Somit bin ich dann darauf gekommen, das y Element
> von U ist.
, weil ja in der "unteren Hälfte" der Spaltenvektoren von A nur Vektoren aus U stehen, somit muß y als Linearkombination von ihnen ebenfalls ins U liegen.
> Dann habe ich die Matrix A mit elementare Zeilenumformung so
> umgeformt, das A wie folgt aussieht.
> A=(u1... ur w1 ... wt)
> (0 ... 0 w1 ... wt)
Das sehe ich nicht sofort; wieso sollte das gehen? Das kann doch gar nicht stimmen, weil die obere Hälfte doch exakt mit der oben Hälfte von A übereinstimmt; somit hast du doch gar keine Spaltenumformungen vorgenommen... bitte erkläre es mir nochmal.
Aber Stefan hat ja schon einen alternativen Beweis gepostet, den kannst du dir ja mal ansehen.
Bis hoffentlich gleich,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 14.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Ich habe die erste Zeile, d.h. [u1 ......ur w1....wt] von der zweiten [u1..... ur 0......0] abgezogen. Dann sieht bei mir die Matrix wie folgt aus
A= (u1 ... ur w1 ... wt)
(0 ... 0 -w1 ... -wt)
Dann habe ich die zeite Zeile der neuen Matrix durch -1 geteilt und erhalte somit die Matrix
A = (u1 ... ur w1 ... wt)
(0 ... 0 w1 ... wt)
Ist das verständlich? Und kann man das so tun?
Und dann habe ich ein weiteres Problem, wie kann ich dieses Verfahren jetzt auf den Fall V=R 4x1 (R die reellen Zahlen) un die beiden Teilräume U=<[0,1,0,-1],[1,0,1,-2],[-1,-2,0,1]> und W=<[-1,0,1,0], [1,0,-1,-1],[2,0,-1,0]> ([a,b,c,d] sind Vektoren v4x1)
Wie sieht jetzt eine Basis von U geschnitten W und U+W aus?
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Ich habe die erste Zeile, d.h. [u1 ......ur w1....wt] von der
Da ist ja schon der Fehler: Das ist doch eine Zeilenumformung! In SR(A) sind aber nur Spaltenumformungen.
> zweiten [u1..... ur 0......0] abgezogen. Dann sieht bei mir die
> Matrix wie folgt aus
Nur zur Sicherheit, aber ich glaube, es ist dir klar: Hier hast du natürlich n Zeilen gleichzeitig subtrahiert, nämlich die erste von (n+1)-ten Zeile, die 2. Zeile von der (n+2)-ten etc.
>
> A= (u1 ... ur w1 ... wt)
> (0 ... 0 -w1 ... -wt)
>
> Dann habe ich die zeite Zeile der neuen Matrix durch -1 geteilt
> und erhalte somit die Matrix
>
> A = (u1 ... ur w1 ... wt)
> (0 ... 0 w1 ... wt)
>
> Ist das verständlich? Und kann man das so tun?
Ja, das habe ich jetzt verstanden, nur helfen dir diese Zeilenumformungen hier nicht weiter.
> Und dann habe ich ein weiteres Problem, wie kann ich dieses
Dazu schreibe ich gleich noch was.
Bis gleich,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 15.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Also habe das gestern Abend auch so gemacht. Und Hatte dann auch die Basen herausbekommen. Wie sieh genau aussahen weiß ich jetzt nicht mehr. Habe das Blatt schon abgegeben. Aber mein Ergebnis kann ich dann ja noch nachliefern.
Aber ich möchte euch danke, dass ihr mir bei dieser Aufgabe so geholfen habt.
Jessica.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Und dann habe ich ein weiteres Problem, wie kann ich dieses
> Verfahren jetzt auf den Fall V=R 4x1 (R die reellen
> Zahlen) un die beiden Teilräume
> U=<[0,1,0,-1],[1,0,1,-2],[-1,-2,0,1]> und W=<[-1,0,1,0],
> [1,0,-1,-1],[2,0,-1,0]> ([a,b,c,d] sind Vektoren
> v4x1)
>
> Wie sieht jetzt eine Basis von U geschnitten W und U+W aus?
Ich würde so vorgehen:
1. Die Matrix A aufstellen
2. Diese Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf die Gestalt A' bringen
3. Fertig!
Zunächst die Matrix A:
[mm] A=
\begin{pmatrix}
u_1 & \ldots & u_r & w_1 & \ldots & w_t \\
u_1 & \ldots & u_r & 0 & \ldots & 0
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\begin{pmatrix}
u_1 & u_2 & u_3 & w_1 & w_2 & w_3 \\
u_1 & u_2 & u_3 & 0 & \ldots & 0
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
-1 & -2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Jetzt versuche, durch Spaltenumformungen zu erreichen, dass im oberen rechten Bereich, also dort, wo [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] stehen, Nullen erzeugt werden; dann haben wir die Matrix A'.
Ab da müßte die Antwort klar sein, denn die beiden Basen können direkt aus den Einträgen von A' abgelesen werden (natürlich nur, wenn dimU=r und dimW=t, das dürfte aber der Fall sein, du mußt es aber noch zeigen.)
Bei Problemen melde dich bitte wieder, und gerne auch mit deinen Ergebnissen 
Viel Erfolg,
Marc.
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