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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Mi 11.08.2010 | | Autor: | Sea2605 |
| Aufgabe | Seien 2 Koordinatensysteme in der Ebene durch die 3 Pkte 0, [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] (bzw. 0', [mm] E_{1}', E_{2}' [/mm] ) gegeben. Seien [mm] e_{i}= \overrightarrow{0E_{i}} [/mm] (bzw. [mm] e_{i}'= \overrightarrow{0'E_{i}'} [/mm] ) wobei i=1,2.
Die Koordinaten von [mm] \overrightarrow{00'}, e_{1}', e_{2}' [/mm] bezüglich des KOS 0, [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] seien:
a) [mm] \vektor{0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2}, \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
b) [mm] \vektor{1\\3}, \vektor{3\\2}, \vektor{-1\\2}
[/mm]
Sei P ein Punkt in der Ebene, dessen Ortsvektor [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] bzgl. des KOS 0, [mm] E_{1}, E_{2} [/mm] die folgenden Koordinaten hat:
i) [mm] \vektor{1\\1} [/mm] ii) [mm] \vektor {2\\-3} [/mm] iii) [mm] \vektor {-2\\-3}
[/mm]
Man berechne in diesen 6 Fällen die Koordinaten von [mm] \overrightarrow{0'P}
[/mm]
bzgl. des KOS 0', [mm] E_{1}', E_{2}'
[/mm]
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Ich weis, dass ich hier zunächst mal
die Vektoren [mm] e_{i}' [/mm] bzgl. des KOS 0', [mm] E_{1}', E_{2}' [/mm] kriegen
muss um dann aus diesen [mm] \overrightarrow{0'P} [/mm] zu basteln.
Meine Frage lautet nun, ob man diese Aufgabe mit dem Wissen,
aus der LA1 und LA2 (mit Darstellungsmatrix vllt, weil ja die [mm] e_{i} [/mm] und [mm] e_{i}' [/mm] Basis der jeweiligen Ebenen) irgendwie anders/leichter/schneller lösen könnte,
damit es in der Klausur schneller geht?
NACHTRAG:
Also ich mache mal einen Ansatz:
Die darstellende Matrix sei [mm] M^v_w(\phi).
[/mm]
[mm] v=(e_{1}', e_{2}') [/mm] sei die Basis der Ebene V bzw. des KOS 0', [mm] E_{1}', E_{2}'.
[/mm]
[mm] w=(e_{1}, e_{2}) [/mm] die der ursprünglichen Ebene W bzw. des KOS 0, [mm] E_{1}, E_{2}.
[/mm]
[mm] \phi [/mm] sei die Abb. von V nach W.
Bei Aufgabe a) müsste doch dann die darstellende Matrix so aussehen:
[mm] M^v_w(\phi)= \pmat{1 & -2 \\ 2 & 1}
[/mm]
Könnte ja dann nach der Transformationsformel folgendes machen:
[mm] M^w_v(\phi)= M^w_v(id W)*M^v_w(\phi)*M^w_v(id [/mm] V)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:34 Do 12.08.2010 | | Autor: | Sea2605 |
Da sich keiner meldet mach ich mal selbst weiter:
Habe mittlerweile rausgefunden, dass es sich um einen "Basiswechsel" -der
bei Wikipedia blöd erklärt ist- handelt. Es ist ja
[mm] \overrightarrow{0P}=\vektor{1\\1} [/mm] bzgl. der Standardbasis (bei Aufgabe a, i).
(((( Theoretisch hätte ich hier noch diesen Schritt einfügen können
(am besten elementargeometrisch vorstellen):
[mm] \overrightarrow{0P}+\overrightarrow{00'}=\overrightarrow{0P}+0=\overrightarrow{0'P} [/mm] ))))) := (*)
Nun muss ich den Vektor [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] aus den Basisvektoren
des neuen KOS basteln (B steht für "bzgl. neuer Basis"):
v = [mm] \overrightarrow{0P}=\vektor{1\\1} [/mm] = [mm] x_{1}*\vektor{1\\ 2}+x_{2}*\vektor{-2\\1} [/mm]
Das ist wiederrum ein LGS das ich in eine erweiterte Matrix schreiben kann:
[mm] \pmat{1 & -2 & | & 1 \\ 2 & 1 & | & 1} \sim \pmat{1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 5 & | & -1} \Rightarrow x_{1}=\bruch{3}{5} [/mm] und [mm] x_{2}=-\bruch{1}{5} \Rightarrow v_B=\overrightarrow{0'P}_B=\vektor{x_{1}\\x_{2}}_B=\vektor{\bruch{3}{5}\\ -\bruch{1}{5}}_B
[/mm]
Habe in den Lösungen nachgesehen und die kriegen den selben Vektor [mm] v_B [/mm] raus, aber mit mehr Schreibaufwand :)
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Nun mach ich auch mal die Aufgabe b i) bei der der Ursprung beider KOS
nicht identisch ist, also 0≠0':
Hier müssen wir zunächst [mm] \overrightarrow{0'P}=v [/mm] bzgl. der Standardbasis (!!)berechnen (leicht per Elementargeometrie vorstellbar):
(*) [mm] \overrightarrow{0'P}=\overrightarrow{0P}+\overrightarrow{0'0}=\vektor{1\\1}+\vektor{-1\\ -3}= \vektor{0\\-2}
[/mm]
Nun müssen wir [mm] \overrightarrow{0'P} [/mm] =v bzgl. der neuen Basis B darstellen
(analog zu der obigen Lsg von Aufgabe a i) ):
[mm] v=\overrightarrow{0'P}=\vektor{0\\-2}=x_{1}*\vektor{3\\2}+x_{2}*\vektor{-1\\2} \Rightarrow \pmat{3 & -1 & | & 0\\ 2 & 2 & | & -2} \sim \pmat{3 & -1 & | & 0\\ 0 & \bruch{8}{3} & | & -2} \Rightarrow x_{1}= -\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] x_{2}= -\bruch{3}{4} \Rightarrow v_B=\vektor{-\bruch{1}{4} \\ -\bruch{3}{4}}_B
[/mm]
PS: Dieser alternative Lösungsweg ist im Grunde natürlich das selbe wie
der Weg über das umständliche aufschreiben aller Linearkombinationen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 14.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 14.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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