Kap. 2.1 < Kapitel 2: Ringe und < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | statler |
Man bestimme den kleinsten Unterring von [mm] \IR, [/mm] welcher [mm] \IQ [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] enthält, und zeige, daß dieser bereits ein Körper ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 07.03.2007 | | Autor: | comix |
Sei [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] := [mm] \{p+q\wurzel{2} | p,q \in \IQ\}
[/mm]
Beh.: [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist Ring.
(i) [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist add. Untergruppe von [mm] \IR:
[/mm]
Zeige: a, b [mm] \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] dann auch a-b.
(ii) [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist multiplikativ abgeschlossen:
Zeige: a, b [mm] \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] dann auch ab.
Beh.: [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist der kleinste Unterring von [mm] \IR, [/mm] der [mm] \IQ [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] enthält.
Jeder Unterring von [mm] \IR, [/mm] der [mm] \IQ [/mm] und [mm] \wurzel{2} [/mm] enthält, enthält auch p + [mm] q\wurzel{2}, [/mm] p,q [mm] \in \IQ, [/mm] damit auch [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] .
Beh.: [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] ist Körper.
Zeige: Zu jedem a [mm] \in \IQ[\wurzel{2}] [/mm] \ {0} existiert ein b mit: ab=1.
Sei [mm] a=p+q\wurzel{2}, [/mm] p,q nicht beide 0, definiere b:= [mm] \bruch{p-q\wurzel{2}}{p^{2}-2q^{2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Fr 12.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] := [mm]\{p+q\wurzel{2} | p,q \in \IQ\}[/mm]
>
> Beh.: [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] ist Ring.
>
> (i) [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] ist add. Untergruppe von [mm]\IR:[/mm]
>
> Zeige: a, b [mm]\in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] dann auch a-b.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (ii) [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] ist multiplikativ abgeschlossen:
>
> Zeige: a, b [mm]\in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] dann auch ab.
> Beh.: [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] ist der kleinste Unterring von [mm]\IR,[/mm]
> der [mm]\IQ[/mm] und [mm]\wurzel{2}[/mm] enthält.
>
> Jeder Unterring von [mm]\IR,[/mm] der [mm]\IQ[/mm] und [mm]\wurzel{2}[/mm] enthält,
> enthält auch p + [mm]q\wurzel{2},[/mm] p,q [mm]\in \IQ,[/mm] damit auch
> [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] .
> Beh.: [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] ist Körper.
>
> Zeige: Zu jedem a [mm]\in \IQ[\wurzel{2}][/mm] \ {0} existiert ein b
> mit: ab=1.
>
> Sei [mm]a=p+q\wurzel{2},[/mm] p,q nicht beide 0, definiere b:=
> [mm]\bruch{p-q\wurzel{2}}{p^{2}-2q^{2}}[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
