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| Aufgabe | | Bweise den Kathetensatz vektoriell! |
Hallo,
also ich habe die Behauptung [mm] a^2=vektor [/mm] von c x vektor von p und [mm] b^2= [/mm] vektor von c x vektor von q aufgestellt, die Vorraussetzung fehlt mir.
Jetzt habe ich den Ansatz [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] mit aufgenommen, also Beweisführung: (vektor von c x vektor von p) + (vektor von c x vektor von q), weiter komme ich leider nicht...
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe
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> Bweise den Kathetensatz vektoriell!
> Hallo,
> also ich habe die Behauptung [mm]a^2=vektor[/mm] von c x vektor von
> p und [mm]b^2=[/mm] vektor von c x vektor von q aufgestellt, die
> Vorraussetzung fehlt mir.
> Jetzt habe ich den Ansatz [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] mit aufgenommen,
> also Beweisführung: (vektor von c x vektor von p) +
> (vektor von c x vektor von q), weiter komme ich leider
> nicht...
>
> Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe
Hallo Piacynthia,
wenn dieser Beweis vektoriell geführt werden soll,
musst du dir zuerst überlegen, welche Vektoren
du als Grundvektoren für die Rechnungen ver-
wenden willst. Du hast also das Dreieck ABC mit
Hypotenuse [mm] \overline{AB}, [/mm] welche durch den Höhenfusspunkt F
in zwei Abschnitte der Längen p und q geteilt wird.
Du hast verschiedene Möglichkeiten, nun Vektoren
wie [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{c} [/mm] , [mm] \vec{p} [/mm] , [mm] \vec{q} [/mm] , [mm] \vec{h} [/mm] einzuführen, wovon du
nachher wohl nicht alle wirklich brauchst, da sie ja
durch verschiedene Gleichungen miteinander ver-
knüpft sind.
Führe also zunächst Bezeichnungen ein, so dass
man nachher z.B. mittels drei Vektoren alle
übrigen beschreiben kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 So 04.10.2009 | | Autor: | Piacynthia |
Hallo,
also b+q+h=0 und p+a+h=0; a x b = 0 und c x h= 0 (Skalarprodukt)?
und wie gehts dann weiter?
dankeschön!
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> Hallo,
> also b+q+h=0 und p+a+h=0; a x b = 0 und c x h= 0
> (Skalarprodukt)?
> und wie gehts dann weiter?
>
> dankeschön!
Definiere deine Vektoren mit Hilfe von Punkten,
damit auch ihre Richtungen eindeutig bestimmt
sind, also zum Beispiel [mm] \vec{b}=\overrightarrow{CA}
[/mm]
Für das Skalarprodukt solltest du kein Kreuz oder x
verwenden, damit man es nicht mit dem vektoriellen
(Kreuz-) Produkt verwechseln kann.
LG
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Achso, also: c=AB; b=AC; a=BC
Wie führe ich nun den Beweis?
danke
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> Achso, also: c=AB; b=AC; a=BC
> Wie führe ich nun den Beweis?
> danke
Irgendwie musst du noch die Höhe oder die
Hypotenusenabschnitte einführen. Ist F der
Höhenfusspunkt auf der Hypotenuse, so
kannst du z.B. noch den Vektor q=AF ein-
führen. Dieser Vektor q ist dann die Projek-
tion des Vektors b auf den Vektor c.
Dafür kennst du möglicherweise eine Formel,
die hier gelegen käme.
Ausserdem wirst du sicher noch benötigen,
dass die Vektoren a und b aufeinander senkrecht
stehen müssen. Spiele dann einmal mit den
Formeln, die du hast, und mach dir klar, was
das Ziel sein sollte: eine Vektorgleichung,
aus der man eine Kathetensatz-Formel
ablesen kann.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 04.10.2009 | | Autor: | Piacynthia |
das Skalarprodukt habe ich ja bereits benannt: Produkt von a und b=0; Produkt von c und h=0
c=p+q; q=AF; p=BF; c=AB; b=AC; a=BC
Behauptung: [mm] b^2=cq; [/mm] a=cp
aber jetzt weiß ich nicht, was du weiter meinst, könntest du mir es nochmal genauer erklären?
vielen dank!
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> das Skalarprodukt habe ich ja bereits benannt: Produkt von
> a und b=0; Produkt von c und h=0
> c=p+q; q=AF; p=BF; c=AB; b=AC; a=BC
> Behauptung: [mm]b^2=cq;[/mm] a=cp
> aber jetzt weiß ich nicht, was du weiter meinst,
> könntest du mir es nochmal genauer erklären?
> vielen dank!
Hallo Piacynthia,
mit der Projektionsformel meinte ich diese:
[mm] $\overrightarrow{AF}\ [/mm] =\ [mm] \vec{q}\ [/mm] =\ [mm] \overrightarrow{b}_{\vec{c}}\ [/mm] =\ [mm] \frac{\vec{b}*\vec{c}}{\vec{c}*\vec{c}}*\overrightarrow{c}$
[/mm]
Falls dir diese etwas sagt, kannst du in dem Term
$\ q*c\ =\ [mm] \vec{q}*\vec{c}$
[/mm]
[mm] \vec{q} [/mm] durch [mm] \frac{\vec{b}*\vec{c}}{\vec{c}*\vec{c}}*\overrightarrow{c} [/mm] ersetzen, den entstehenden neuen
Term vereinfachen und, um den Vektor [mm] \vec{c} [/mm] loszuwerden,
die Gleichung [mm] \vec{c}=\vec{b}-\vec{a} [/mm] benützen.
Gruß Al-Chw.
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