Kern/Bild von Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Fr 06.01.2006 | | Autor: | muhkuh |
| Aufgabe | Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad höchstens drei.
[mm] G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2} [/mm] |
Hallo, ich schreibe morgen eine Klausur über lin. Abbildungen.
ich hoffe ihr könnt mir bei nem kleinen helfen.
ich weiß wie man den Kern/das Bild von Matrizen berechnet.
aber wie macht man das wenn anstatt von ner darstellenden Matrix Polynome gegeben sind? wie z.b. in der aufgabe oben.
(ich will jetzt aber keine Lsg. zu der Aufgabe, sondern nur den Ansatz um daran zu kommen)
DANKE!
(die frage habe ich in keinem anderen Forum gepostet)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Gegeben ist der Raum aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens drei.
> [mm]G(p)(x):=\bruch{p(x)+p(-x)}{2}[/mm]
> Hallo, ich schreibe morgen eine Klausur über lin.
> Abbildungen.
> ich hoffe ihr könnt mir bei nem kleinen helfen.
> ich weiß wie man den Kern/das Bild von Matrizen
> berechnet.
> aber wie macht man das wenn anstatt von ner darstellenden
> Matrix Polynome gegeben sind? wie z.b. in der aufgabe
> oben.
> (ich will jetzt aber keine Lsg. zu der Aufgabe, sondern
> nur den Ansatz um daran zu kommen)
Nun, du weisst inwiefern die Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ einen Vektorraum bilden? Es sind alle Linearkombinationen [mm] $\lambda_3 x^3 [/mm] + [mm] \lambda_2 x^2 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_0$ [/mm] mit [mm] $\lambda_0, \dots, \lambda_3 \in \IR$: [/mm] Also ist der Raum (bezeichnen wir ihn mal mit [mm] $P_3$) [/mm] isomorph zu [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Wenn du nun eine lineare Abbildung $f : [mm] P_3 \to P_3$ [/mm] hast, kannst du sie auf den 'Basisvektoren' (dies sind $1$, $x$, [mm] $x^2$, $x^3$, [/mm] welche den Koeffizientenvektoren [mm] $(\lambda_0, \dots, \lambda_4) [/mm] = (1, 0, 0, 0)$, $(0, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 1, 0)$, $(0, 0, 0, 1)$ entsprechen!) auswerten und wieder mit Hilfe der Basisvektoren darstellen (was genau das gleiche ist wie den Koeffizientenvektor hinzuschreiben). Und dadurch kannst du das ganze wieder auf ein Matrixproblem zurueckfuehren, indem du so die darstellende Matrix ausrechnest!
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Fr 06.01.2006 | | Autor: | muhkuh |
ah na klar! danke =)
die darstellende matrix hatte ich auch schon, nur war ich zu blöd den kern von der auszurechnen und hab stattdessen versucht das von dem polynom zu machen =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> ah na klar! danke =)
> die darstellende matrix hatte ich auch schon, nur war ich
> zu blöd den kern von der auszurechnen und hab stattdessen
> versucht das von dem polynom zu machen =)
Nun mit dem Polynom selber ists auch nicht so schwer, wenn du $p(x) = [mm] \lambda_3 x^3 [/mm] + [mm] \lambda_2 x^2 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] x + [mm] \lambda_0$ [/mm] einsetzt und [mm] $\frac{p(x) + p(-x)}{2}$ [/mm] ausrechnest siehst du sofort wann ein solches Polynom im Kern ist :)
LG Felix
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