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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 15.09.2007 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | Wri betrachten die Gruppe G = [mm] \IC \backslash \{0\} [/mm] zusammen mit der Multiplikation komplexer Zahlen und
[mm] f_{1}(z)=\bruch{z}{|z|} [/mm] und [mm]f_{2}(z) = |z| [/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] f_{i}: [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G Gruppenhomomorphismen sind.
b) Ermitteln Sie Kern und Bild von [mm] f_{i} [/mm] und überlegen Sie sich, dass diese jeweils Untergruppen von G sind |
Hallo!
Sorry für die viele Fragen aber ich bereite mich auf eine Klausur Dienstag vor 
Bei a) war das kein Problem, meine frage bezieht sich auf b)
Normalerweise, wenn ich den Kern und das Bild von [mm]f[/mm] zeigen muss, erstelle ich die Abbildungsmatrix und löse das Homogene Gleichungssystem und das ist der Kern und der Spaltenraum ist das Bild.
Aber bei dieser aufgabe speziell und bei aufgaben, wo es um [mm] \IC [/mm] geht, habe ich meine probleme.
ich versuche die Abbildungsmatrix so zu erstellen:
Basis von [mm] \IC [/mm] ist [mm] \{1,i\}
[/mm]
[mm] f_{1}(1)=1
[/mm]
[mm] f_{1}(i)=i
[/mm]
Also meiner Meinung nach gibt es zwei möglichkeiten für die Abbildungsmatrix:
1) wenn wir über [mm] \IR [/mm] machen:
f = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] (weil 1 = 1+0i und i=0+1i)
dann ist
kern(f)=0
[mm] bild(f)=\lambda \vektor{1 \\ 0}+\beta\vektor{0 \\ 1}, \lambda ,\beta \in \IR
[/mm]
2) wenn wir über [mm] \IC [/mm] machen:
f = [mm] \pmat{ 1 & i }
[/mm]
dann wäre
[mm] Kern(f)=\lambda\vektor{-i \\ 1} \lambda \in \IR
[/mm]
Bild(f)=?
laut musterlösung ist es:
Es ist [mm]Kern(f_{1}) = Bild(f_{2}) = \{x \in \IR | x>0 \}[/mm]
[mm]
Bild(f_{1})=Kern(f_{2})=\{z \in \IC : |z|=1 \} [/mm]
wie kommt man darauf? und was ist denn falsch mit meinen abbildungsmatrizen?
bei den [mm] \IR [/mm] -funktionen habe ich immer so Bild und Kern ermittelt.
Vielen Dank!
Edu
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> Wri betrachten die Gruppe G = [mm]\IC \backslash \{0\}[/mm] zusammen
> mit der Multiplikation komplexer Zahlen und
> [mm]f_{1}(z)=\bruch{z}{|z|}[/mm] und [mm]f_{2}(z) = |z|[/mm]
> a) Zeigen Sie,
> dass [mm]f_{i}:[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] G Gruppenhomomorphismen sind.
> b) Ermitteln Sie Kern und Bild von [mm]f_{i}[/mm] und überlegen Sie
> sich, dass diese jeweils Untergruppen von G sind
> Bei a) war das kein Problem, meine frage bezieht sich auf
> b)
> Normalerweise, wenn ich den Kern und das Bild von [mm]f[/mm] zeigen
> muss, erstelle ich die Abbildungsmatrix und löse das
> Homogene Gleichungssystem und das ist der Kern und der
> Spaltenraum ist das Bild.
> Aber bei dieser aufgabe speziell und bei aufgaben, wo es
> um [mm]\IC[/mm] geht, habe ich meine probleme.
>
> ich versuche die Abbildungsmatrix so zu erstellen[...]
Hallo,
das Problem ist hier ein ganz grundsätzliches: es haben Abbildungsmatrizen hier nichts zu suchen. Die Abbildungsmatrizen sind ja für lineare Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen.
Du betrachtest hier aber Gruppenhomomorphismen. Lineare Abbildungen sind die [mm] f_i [/mm] nicht, mal ganz abgesehen von dem kleinen Detail, daß Dir in (G,*) weder eine Addition noch ein neutrales bzgl der Addition zur Verfügung steht.
Ich nehme an, daß Dir klar ist, daß die Gruppe, in welche Du abbildest, multiplikativ zu betrachen ist, Du hast ja in a) sicher gezeigt, daß [mm] f_i(x*y)=f_i(x)*f_i(y) [/mm] ist.
Das bedeutet, daß Du für den Kern untersuchen mußt, welche Elemente auf die 1, auf das neutrale Element der multiplikativen Gruppe, abgebildet werden.
Das Bild würde ich ermitteln durch anschauen, und dann zeigen, daß es tatsächlich das Bild ist.
Das Bild von [mm] f_1 [/mm] sieht man doch sofort: die komplexen Zahlen, deren Betrag =1 ist.
Nun mußt Du zeigen: bild [mm] f_1 \in \{x\in \IC \ \{0\}| |x|=1 \} [/mm] und [mm] \{x\in \IC \ \{0\}| |x|=1 \}\in [/mm] bild [mm] f_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 15.09.2007 | | Autor: | holwo |
danke! du hast mir wieder sehr geholfen! ich hab mir immer unter kern "0" vorgestellt aber da wird wieder abstrahiert
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