Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mi 16.02.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei F:V-->W eine lin Abb und V,W x-beliebige Vektorräume
Wie bestimmt man Kern und Bild von F |
Meine Idee,
wäre erstmal eine Basis aus V durch F zu jagen und dann zu schauen ob ihre Elemente noch lin unab sind.
Sind sie es, so kann ich ja die Bilder dieser Basis als Basis für Bild F nehemen.
Sind die Bilder lin ab. so würde ich die Darstellungsmatrix bzgl. der gewählten Basen bestimmen, Lös(Darstellunsmatrix,0)bestimmen, die aus Lös erhaltenen vektroren als Koeffizienten für die Basis des Definitonsbereichs auffassen und dessen ergebnis als Basis von Kern F nehmen.
Und für die Basis für Bild f würde ich den die Darstellungsmatrix transponieren und dann ihre lin unab zeilen als Koeffizienten für eine Lk mit der Basis des Bildbereichs auffassen und dessen ergebnis würde ich als Basis für Bild F nehmen.
1. Ist das richtig so?
2. geht das auch leichter?
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> Sei F:V-->W eine lin Abb und V,W x-beliebige Vektorräume
> Wie bestimmt man Kern und Bild von F
> Meine Idee,
> wäre erstmal eine Basis aus V durch F zu jagen und dann
> zu schauen ob ihre Elemente noch lin unab sind.
> Sind sie es, so kann ich ja die Bilder dieser Basis als
> Basis für Bild F nehemen.
> Sind die Bilder lin ab. so würde ich die
> Darstellungsmatrix bzgl. der gewählten Basen bestimmen,
> Lös(Darstellunsmatrix,0)bestimmen, die aus Lös erhaltenen
> vektroren als Koeffizienten für die Basis des
> Definitonsbereichs auffassen und dessen ergebnis als Basis
> von Kern F nehmen.
> Und für die Basis für Bild f würde ich den die
> Darstellungsmatrix transponieren und dann ihre lin unab
> zeilen als Koeffizienten für eine Lk mit der Basis des
> Bildbereichs auffassen und dessen ergebnis würde ich als
> Basis für Bild F nehmen.
>
> 1. Ist das richtig so?
> 2. geht das auch leichter?
Oh ja. Meine ich zumindestens. Kann natürlich sein, dass du das auch meinst.
F ist eine lineare Abbildung. Wenn dim V= n & dim W =m, dann ist [mm] $A_f\in \IR{m\times n}$
[/mm]
Dann kann wie üblich den Kern einer Matrix bestimmen.
[mm] $Ker(A)=\{x\in \IR^{n} \; |\; Ax=0 \}$ [/mm] (Lös. hom. LGS)
Bild sind die restlichen Spalten der Matrix. Natürlich kann man theoretisch viel herumrechnen. Jedoch würde ich immer einen Lösungsweg bevorzugen, der immer geht.
C.F. Gauß: "Das (..) Verfahren lässt sich halb im Schlaf ausführen oder man kann während derselben an andere Dinge denken."
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