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Forum "Lineare Abbildungen" - Kern und Bild
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Kern und Bild: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 25.11.2013
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Seien U, V Vektorräume und [mm] U_{0}, V_{0} [/mm] Untervektorräume jeweils von U und V. Unter welchen Bedingungen existiert eine lineare Abbildung L : U [mm] \to [/mm] V
mit Kern [mm] L=U_{0} [/mm] und Bild [mm] L=V_{0}? [/mm] Ist eine solche Abbildung eindeutig bestimmt? Definieren sie explizit eine Abbildung mit den gegebenen Eigenschaften.

Ich verstehe leider nicht genau was hier gemacht werden soll.
Wenn die Vektorräume nicht eindeutig definiert sind, kann es doch beliebige lineare Abbildungen geben, oder nicht?
Und der Kern ist doch immer Untervektorraum von U (also dem Definitionsbereich) und das Bild immer Untervektorraum von V (also dem Wertebereich), wie also sollen mir diese Infos helfen?
        
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Di 26.11.2013
Autor: meili

Hallo,

> Seien U, V Vektorräume und [mm]U_{0}, V_{0}[/mm] Untervektorräume
> jeweils von U und V. Unter welchen Bedingungen existiert
> eine lineare Abbildung L : U [mm]\to[/mm] V
>  mit Kern [mm]L=U_{0}[/mm] und Bild [mm]L=V_{0}?[/mm] Ist eine solche
> Abbildung eindeutig bestimmt? Definieren sie explizit eine
> Abbildung mit den gegebenen Eigenschaften.

Sind U und V endlich dimensionale Vektorräume?

>  Ich verstehe leider nicht genau was hier gemacht werden
> soll.

Eigenschaften von (oder Bedingungen an) [mm] $U_0$ [/mm] und [mm] $V_0$ [/mm] finden,
unter denen eine lineare Abbildung L: U [mm] $\to$ [/mm] V existiert mit
Kern L = [mm] $U_0$ [/mm] und Bild L = [mm] $V_0$. [/mm]

Siehe []Rangsatz

>  Wenn die Vektorräume nicht eindeutig definiert sind, kann
> es doch beliebige lineare Abbildungen geben, oder nicht?

Unter welchen Bedingungen gibt es überhaupt eine (oder viele)?

>  Und der Kern ist doch immer Untervektorraum von U (also
> dem Definitionsbereich) und das Bild immer Untervektorraum
> von V (also dem Wertebereich), wie also sollen mir diese

[ok]
Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] $\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] mit Kern L = [mm] $\IR^2$ [/mm]
und Bild L = [mm] $\IR^2$? [/mm]

> Infos helfen?

Gruß
meili
Bezug
                
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Di 26.11.2013
Autor: Ymaoh

Also, ich denke schon, dass es sich um endlich Dimensionale Vektorräume handelt. Aus dem einfachen Grund, dass wir unendlich Dimensionale noch nicht in der Vorlesung hatten. :)

Die Bedingungen wären dann:

[mm] dim(v_{0} \le [/mm] dim U
und für den Kern gilt doch:
kern(f)={f(v)=0 | v [mm] \in U_{0}} [/mm]

meintest du das so?

Ich weiß nicht, wieviele es dann gäbe...  o.o


und [mm] R^3 \to R^3 [/mm]
mit Bild [mm] L=R^2 [/mm] könnte es geben, wenn in der Abbildungsvorschrift beispielsweise die z-ebene wegfällt.

Aber Kern = [mm] R^2 [/mm] bin ich mir nicht sicher...das dürfte eigentlich nicht funktionieren, wenn der Definitionsbereich der [mm] R^3 [/mm] ist...


Bezug
                        
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Di 26.11.2013
Autor: fred97

meili hat Dir geraten, dass Du Dir den Rangsatz mal anschaust.

Sind U und V endlichdimensionale Vektorräume und ist L:U [mm] \to [/mm] V linear, so gilt:

   dim V= dim kern(L)+dim Bild(L).

Wenn es nun eine lineare Abb. L mit

   kern(L) [mm] =U_0 [/mm] und [mm] bild(L)=V_0 [/mm]

gibt, so muss notwendigerweise für [mm] U_0 [/mm] und [mm] V_0 [/mm] gelten:

  (*)   dimV=dim [mm] U_0+dim V_0. [/mm]

Gilt (*) nicht, so gibt es kein solches L.

FRED
Bezug
                                
Bezug
Kern und Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Di 26.11.2013
Autor: Ymaoh

Ah, ich hatte da was durcheinander gebracht. Ich dachte der Rangsatz würde Aussagen, dass die Dimension vom Bild kleiner/gleich der Dimension vom Definitionsbereich ist.

Aber ist die Aussage

[mm] dimV=dimU_{0}+dimV_{0} [/mm]

dann schon ausreichend als Bedingung?
Und die Abbildung ist dann nicht eindeutig bestimmt, lediglich deren Dimensionen. Dann müssen lediglich die Abbildungsvorschriften noch denen für lineare Abbildungen genügen...
Bezug
                                        
Bezug
Kern und Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Di 26.11.2013
Autor: leduart

Hallo
und L muss VORGEGEBENE [mm] U_0 [/mm]  (und [mm] V_0 [/mm] richtig abbilden!
Gruss leduart
Bezug
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