Kern und Bild einer LA < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die folgende Abbildung:
[mm] f:\IR^{n,n}\rightarrow Abb(\IR^{n},\IR), A\mapsto f(A):=f_{A}, [/mm] wobei [mm] f_{A} [/mm] wie folgt definiert ist:
[mm] f_{A}:\IR^{n}\rightarrow \IR, x\mapsto f_{A}(x):=x^{T}Ax.
[/mm]
Berechnen Sie Kern und Bild von f. |
Für den Kern werden alle Matrizen [mm] A\in \IR^{n,n} [/mm] gesucht, für die [mm] f(A)=f_{A}=0 [/mm] ist, also alle Matrizen A, für die [mm] f_{A}(x)=x^{T}Ax=0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR^{n} [/mm] gilt. Das kann doch eigentlich nur für die Nullmatrix gelten oder sehe ich das falsch?
Das Bild ist meiner Meinung nach der ganze Wertebereich, also [mm] Abb(\IR^{n},\IR), [/mm] aber ich wüsste nicht, wie ich das begründen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mo 20.04.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht im [mm] R^n [/mm] überlegt, aber wenn Ax auf die senkrechte von x dreht ist [mm] x^T [/mm] Ax=0 und A nicht die Nullmatrix.
Gruss ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:39 Di 21.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die folgende Abbildung:
> [mm]f:\IR^{n,n}\rightarrow Abb(\IR^{n},\IR), A\mapsto f(A):=f_{A},[/mm]
> wobei [mm]f_{A}[/mm] wie folgt definiert ist:
> [mm]f_{A}:\IR^{n}\rightarrow \IR, x\mapsto f_{A}(x):=x^{T}Ax.[/mm]
>
> Berechnen Sie Kern und Bild von f.
> Für den Kern werden alle Matrizen [mm]A\in \IR^{n,n}[/mm] gesucht,
> für die [mm]f(A)=f_{A}=0[/mm] ist, also alle Matrizen A, für die
> [mm]f_{A}(x)=x^{T}Ax=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR^{n}[/mm] gilt. Das kann
> doch eigentlich nur für die Nullmatrix gelten oder sehe
> ich das falsch?
Das siehst Du falsch. Schau Dir mal im Falle n=2 die Matrizen [mm] \pmat{ 0 & t \\ -t & 0 } [/mm] an.
>
> Das Bild ist meiner Meinung nach der ganze Wertebereich,
> also [mm]Abb(\IR^{n},\IR),[/mm] aber ich wüsste nicht, wie ich das
> begründen soll.
Ich auch nicht, denn es ist falsch.
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Experimentiere ein wenig im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3. [/mm] Dann bekommst Du vielleicht eine Idee.
FRED
>
> Viele Grüße!
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In Ordnung, danke erstmal. Mir fällt es ehrlich gesagt noch etwas schwer, vorzustellen, was das Bild sein könnte. Eine Matrix aus [mm] \IR^{n,n} [/mm] wird auf eine Abbildung zwischen [mm] \IR^{n} [/mm] und [mm] \IR [/mm] abgebildet. Ist das Bild dann das Bild der zweiten Abbildung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 22.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> In Ordnung, danke erstmal. Mir fällt es ehrlich gesagt
> noch etwas schwer, vorzustellen, was das Bild sein könnte.
> Eine Matrix aus [mm]\IR^{n,n}[/mm] wird auf eine Abbildung zwischen
> [mm]\IR^{n}[/mm] und [mm]\IR[/mm] abgebildet. Ist das Bild dann das Bild der
> zweiten Abbildung?
Hä?
Bild(f) ist die Menge aller quadratischen Formen auf [mm] \IR^n
[/mm]
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Form
FRED
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