Klassisches Maßproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:17 Do 21.11.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Existiert eine nichtnegative, normierte und sigma-additive Abbildung auf P([0, 1])? |
Hallo,
ich möchte obige Frage beantworten aber ich verstehe es irgendwie nicht.
Also zunächst mal zu den Definitionen:
Frage: Was bedeutet "sigma-additiv"?
Antwort: Eine Mengenfunktion P ist "sigma-additiv", falls für jede disjunkte Folge [mm] A_{1}, A_{2}, [/mm] ... gilt:
[mm] P(\summe_{i=1}^{\infty} A_{i})=\summe_{i=1}^{\infty} P(A_{i})
[/mm]
Frage: Was bedeutet "normiert"?
Antwort: P ist normiert, wenn gilt: [mm] P(\Omega)=1
[/mm]
nichtnegativität ist klar.
Aber trotzdem kann ich das irgendwie nicht zeigen :-(.
Kann mir jemand weiterhelfen??
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Gehe in die folgende Richtung:
eine solche Abbildung ex. nicht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:44 Do 21.11.2013 | | Autor: | piriyaie |
ich habe es gerade schon bewiesen, dass es existiert.
Wir nehmen:
[mm] \Omega=[0; [/mm] 1]
[mm] \mathcal{F}=P(\Omega)
[/mm]
P: [mm] \mathcal{F} \rightarrow [/mm] { 0; 1 }
Also sei A [mm] \in \mathcal{F},
[/mm]
P(A)=1 falls 1 [mm] \in [/mm] A
P(A)=0 falls 1 [mm] \notin [/mm] A
1. nichtnegativität [mm] \surd, [/mm] da Zielmenge { 0; 1 }
2. normierbarkeit [mm] \surd, [/mm] da [mm] P(\Omega)=1
[/mm]
3. [mm] \sigma [/mm] Additiv [mm] \surd, [/mm] sei [mm] A_{1}, A_{2}, [/mm] ... eine disjunkte Folge von mengen aus [mm] \mathcal{F}.
[/mm]
1. Fall: 1 [mm] \in \bigcup_{i \ge 1} A_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(\bigcup_{i \ge 1}A_{i})=\summe_{i \ge 1}P(A_{i})=1
[/mm]
2. Fall: 1 [mm] \notin \bigcup_{i \ge 1} A_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(\bigcup_{i \ge 1}A_{i})=\summe_{i \ge 1}P(A_{i})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert eine Abb mit den geforderten Eigenschaften.
fertig :-D
Finde es nicht so gut von der anderen "Richtung" anzufagen. Verkompliziert die sache doch nur noch! Man muss einfach nur die einzelnen Definitionen durchgehen.
Naja.
Danke trotzdem.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Dein Beispiel ist in Ordnung.
Zu meiner Ehrenrettung folgendes:
Zum "klassischen Maßproblem" gehört noch eine weitere Forderung, nämlich die nach der Bewegungsinvarianz.
Beim Lesen Deines ersten Posts ist mir gar nicht aufgefallen, dass diese Forderung fehlt.
Auf diesem Hintergrund, schau Dir das mal an:
http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9783540216766-c1.pdf?SGWID=0-0-45-124670-p32094159
FRED
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