Koaxkabel induktivität < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 16.06.2019 | | Autor: | nosche |
| Aufgabe | | Ein Koaxialkabel der Länge l bestehe aus einem leitenden Hohlzylinder mit Radius [mm] r_1 [/mm] (Innenleiter) und einem hiervon isolierten, koaxial angeordneten Hohlzylinder mit Radius [mm] r_2 [/mm] > [mm] r_1 [/mm] (Außenleiter). Nach Anlegen einer Spannung zwischen Innen- und Außenleiter auf der einen Seite des Kabels sowie Anschluss eines Verbrauchers an der anderen Seite fließt der Strom [mm] I_i [/mm] im Innenleiter. Leiten Sie die Induktivität des Koaxialkabels pro Längeneinheit, d.h. L/l, als Funktion der gegebenen Größen ab. |
[Dateianhang nicht öffentlich]
es gilt:
[mm] U_{ind}=-L\bruch{dI}{dt} [/mm] und
[mm] U_{ind}=-\bruch{d\Phi}{dt} [/mm] mit
[mm] \Phi=\integral_{A}^{}{\vec{B} \vec{dA}}
[/mm]
Ampere:
[mm] \mu_0I_i=\integral_{C}^{}{\vec{B} \vec{ds}}; [/mm] mit [mm] \vec{B}\parallel d\vec{s}
[/mm]
[mm] \mu_0I_i=\integral_{0}^{2\pi}{Brd\phi}=2Br\pi [/mm]
[mm] B=\bruch{\mu_0I_i}{2r\pi}
[/mm]
meine Frage,bevor ich weiter schreibe, ist es sinnvoll wie gezeigt zu starten?
Was mich beunruhigt ist, dass die Ermitlung von B schon falsch sein könnte, da der stromführende Teil kein dünner Leiter im Zentrum des äußeren Zylinders ist.
Leider fällt mir aber auch kein anderer Ansatz ein.
Weiß jemand Rat?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 17.06.2019 | | Autor: | Infinit |
Hallo nosche,
Wenn Du Dir das Koaxkabel anschaust mit den beiden Radien für Innen- und Außenleiter, so gibt es doch mit wachsendem Radius r drei Bereiche.
a) Für Radiuswerte kleiner als [mm] r_i [/mm] umfasst
das Umlaufintegral [mm] \int H \, ds [/mm] keinen Strom, es existiert dort keine Erregung und demzufolge auch kein Magnetfeld. Für Radienwerte zwischen [mm] r_i [/mm] und [mm] r_a [/mm] umfasst das Integral gerade den Strom [mm] I_i [/mm]. Für Werte größer gleich [mm] r_a [/mm] umfasst das Integral die Summe aus hin- und zurückfließendem Strom, dessen Anteile sich gerade aufheben. Auch hier existiert wieder kein Magnetfeld.
Nur im Bereich zwischen den Leitern hat man ein Magnetfeld der Größe
[mm] B = \frac{\mu_0 I_i}{2 \pi r} [/mm].
Ich würde dann über die Energiedichte weiterrechnen:
[mm] \frac{B^2}{2 \mu_0}= \frac{\mu_0 I_i^2}{8 \pi^2 r^2} [/mm]
Nimm dann ein Volumenelement des Zylinders der Länge l und integriere die Energiedichte über r mit einem [mm] dV = l 2\pi r\, dr [/mm]. Da kommt ein ln als Ergebnis mit rein über das Verhältnis von [mm] r_2 [/mm] zu [mm] r_1 [/mm].
In einem letzten Schritt setzt Du die gerade eben ausgerechnete magnetische Energie der Formel für die Induktivität gleich:
[mm] W_{mag} = \frac{1}{2} L I_i ^2 [/mm]. Daraus bekommst Du dann die auf die Länge l bezogene Induktivität [mm] \frac{L}{l} [/mm], wobei sich eine ganze Menge rauskürzt. Das Ergebnis, wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte dann [mm]\frac{\mu_0}{2 \pi} \ln \frac{r_2}{r_1} [/mm] sein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Di 18.06.2019 | | Autor: | nosche |
hallo Infinit,
besten Dank für deine zielführende Hilfe.
Auf den Engeriedichteansatz wäre ich nicht gekommen. Ich habe nachgerechnet und erhalte das vorhergesagte Ergebnis.
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