Koeffvergleich, Inverse < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Betrachte die PotenzReihe
[mm] e^z [/mm] -1 = z + [mm] z^2/2! [/mm] +...
Gemäß satz müsste eine zusammensetzungsinverse Reihe existieren. Wenn wir die Koeffizienten dieser Inversen der Reihe nach ausrechnen, erhalten wir:
z - [mm] z^2/2 [/mm] + [mm] z^3/3 [/mm] - [mm] z^4/4 [/mm] +-.. |
Hallo, was mache ich falsch?
z= [mm] (z^1/1! [/mm] + [mm] z^2/ [/mm] 2! + [mm] z^3/3! [/mm] +...) * ( [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] z + [mm] b_2 z^2 [/mm] +..)
Koeff.vergleich
1= [mm] b_0
[/mm]
0= [mm] b_1 [/mm] + 1/2! [mm] b_0
[/mm]
0= 1/3! [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] /2 + [mm] b_2
[/mm]
Auch ist das hier verschoben, denn [mm] b_0 [/mm] sollte doch 0 sein. sonst existiert die zusmmensetzung ja auch gar nicht??
|
|
| |
|
Hallo quasimo,
> Betrachte die PotenzReihe
> [mm]e^z[/mm] -1 = z + [mm]z^2/2![/mm] +...
> Gemäß satz müsste eine zusammensetzungsinverse Reihe
> existieren. Wenn wir die Koeffizienten dieser Inversen der
> Reihe nach ausrechnen, erhalten wir:
> z - [mm]z^2/2[/mm] + [mm]z^3/3[/mm] - [mm]z^4/4[/mm] +-..
> Hallo, was mache ich falsch?
>
> z= [mm](z^1/1![/mm] + [mm]z^2/[/mm] 2! + [mm]z^3/3![/mm] +...) * ( [mm]b_0[/mm] + [mm]b_1[/mm] z + [mm]b_2 z^2[/mm]
> +..)
Wieso "mal"?
Inverse Funktion bedeutet doch [mm]f\circ f^{-1}(z)=z[/mm]
Berechne also [mm]z=\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^1}{1!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^2}{2!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^3}{3!}+...[/mm]
Ich habe das mal schnell überschlägig für die Koeffizienten [mm]b_0,b_1,b_2[/mm] gemacht und muss sagen, dass ich auf die Koeffizienten aus der Lösung komme ...
>
> Koeff.vergleich
> 1= [mm]b_0[/mm]
> 0= [mm]b_1[/mm] + 1/2! [mm]b_0[/mm]
> 0= 1/3! [mm]b_0[/mm] + [mm]b_1[/mm] /2 + [mm]b_2[/mm]
>
> Auch ist das hier verschoben, denn [mm]b_0[/mm] sollte doch 0 sein.
> sonst existiert die zusmmensetzung ja auch gar nicht??
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Entschuldige da hab ich mich vertan
> Berechne also $ [mm] z=\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^1}{1!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^2}{2!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^3}{3!}+... [/mm] $
> Ich habe das mal schnell überschlägig für die Koeffizienten $ [mm] b_0,b_1,b_2 [/mm] $ gemacht und muss sagen, dass ich auf die Koeffizienten aus der Lösung komme ...
Wie machst du da einen Koeffizientenvergleich?
[mm] b_0 [/mm] =0 ist klar.
da links 0 steht und rechts nur [mm] b_0 [/mm] mit Koeffizienten und Hochzahlen stehen
[mm] b_1 [/mm] =?
für links eine 1
aber rechts mit den Hochzahlen??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Entschuldige da hab ich mich vertan
>
> > Berechne also
> [mm]z=\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^1}{1!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^2}{2!}+\frac{(b_0+b_1z+b_2z^2+...)^3}{3!}+...[/mm]
>
> > Ich habe das mal schnell überschlägig für die
> Koeffizienten [mm]b_0,b_1,b_2[/mm] gemacht und muss sagen, dass ich
> auf die Koeffizienten aus der Lösung komme ...
> Wie machst du da einen Koeffizientenvergleich?
>
> [mm]b_0[/mm] =0 ist klar.
> da links 0 steht und rechts nur [mm]b_0[/mm] mit Koeffizienten und
> Hochzahlen stehen
> [mm]b_1[/mm] =?
> für links eine 1
> aber rechts mit den Hochzahlen??
Na, binomische Formeln rechterhand, alles ausmultiplizieren, nach Potenzen von z sortieren und mit der linken Seite
[mm]z=\red 0\cdot{}z^0+\red 1\cdot{}z^1+\red 0\cdot{}z^2+\red 0\cdot{}z^3+\ldots[/mm] vergleichen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 12.02.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo, sry dass ich nochmals nachfrage. ABer ich bin heute etwas aufgeregt wegen morgen und seh schon manche dinge nicht mehr..
Wie wendest du die binomische Formel für unendliche Summen an? Kannst du mir das vlt bei [mm] b_1 [/mm] oder [mm] b_2 [/mm] kurz zeigen, wie du das machst?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo, sry dass ich nochmals nachfrage. ABer ich bin heute
> etwas aufgeregt wegen morgen und seh schon manche dinge
> nicht mehr..
>
>
> Wie wendest du die binomische Formel für unendliche Summen
> an?
Gar nicht. Ich habe alles nur bis zur 2.Ordnung berechnet, also [mm](b_0+b_1z+b_2z^2)^2[/mm] als "schlimmsten" Term ...
> Kannst du mir das vlt bei [mm]b_1[/mm] oder [mm]b_2[/mm] kurz zeigen,
> wie du das machst?
[mm]z=b_0+b_1z+b_2z^2+\frac{1}{2}\cdot{}\left(b_0+b_1z+b_2z^2)^2[/mm] habe ich gerechnet ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
