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Forum "Stochastik" - Königszüge
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Königszüge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 Fr 07.07.2023
Autor: Spica

Auf einem nur 3x3 Felder großen Schachbrett steht als einzige Figur der König auf a1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der König nach 2 Zügen zufällig auf a3 steht, wenn alle Züge gleich wahrscheinlich sind?
Nun wird als Lösung dieser Aufgabe aus dem Leistungsfach Mathe von 2010 in Thüringen folgende Lösung angegeben:
[mm] P=1/3(0,2+0,125+0)\approx10,83 [/mm] Prozent.

Wenn ich aber alle möglichen Zweierkombinationen durchgehe, komme ich auf insgesamt 18 verschiedene Varianten, von denen 2 nach a3 führen. Damit wäre doch aber P [mm] \approx [/mm] 11,11 Prozent.
Wo liegt mein Fehler, da ich mal davon ausgehe, dass die obige Lösung wohl schon stimmen wird.

        
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Königszüge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Fr 07.07.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich aber alle möglichen Zweierkombinationen
> durchgehe, komme ich auf insgesamt 18 verschiedene
> Varianten, von denen 2 nach a3 führen.

Korrekt.

> Damit wäre doch aber P [mm]\approx[/mm] 11,11 Prozent.
>  Wo liegt mein Fehler, da ich mal davon ausgehe, dass die
> obige Lösung wohl schon stimmen wird.

In der Berechnung deines $P$.
Wie berechnest du das denn und was nimmst du dafür implizit an?

(Ich schreibe dir deinen Fehler mal nicht direkt hin, vielleicht kommst du mit obigem Hinweis ja selbst drauf :-)).

Gruß,
Gono

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Königszüge: Einzelschritte beachten !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 So 09.07.2023
Autor: Al-Chwarizmi

Für den Weg von a1 nach a3 in genau zwei Zügen gibt es nur genau
zwei Wege, nämlich

entweder    a1 -> a2 -> a3

oder aber    a1 -> b2 -> a3

Um die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Wege zu bestimmen, muss
man sie in einzelnen Schritten betrachten.

Rechnerisch ergibt sich dann:

[mm] P_2 [/mm] (a1 -> a3) = [mm] P_1(a1 [/mm] -> a2) * [mm] P_1(a2 [/mm] -> a3) + [mm] P_1(a1 [/mm] -> b2) * [mm] P_1(b2 [/mm] -> a3)  

(ich hoffe, dass man meine Bezeichnungen versteht)

Dann ist beispielsweise:

[mm] P_1(a1 [/mm] -> a2) =  1/3

und  [mm] P_1(b2 [/mm] -> a3)   =  1/8

(warum genau ?)

Damit kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.

Zentraler Gedanke:  Von jedem Feld aus sind dem Schach-König
jeweils nur entweder drei oder fünf oder acht benachbarte Felder
überhaupt direkt zugänglich !

LG ,   Al-Chwarizmi

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Königszüge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 10.07.2023
Autor: Spica

Hallo an die beiden Antworter,

also seid ihr auch der Meinung, dass P [mm] \approx [/mm] 11,1 % sein müsste?
Die Aufgabe stammt aus "Das große Buch der mathematischen Rätsel" von Heinrich Hemme, Aufgabe 186, Lösung Seite 236/237.
Da wird P = 1/3 * (1/5 + 1/8 + 0) = 13/120 [mm] \approx [/mm] 10,83 % als Lösung angegeben.
Begründet wird es damit, dass der König mit jeweils P = 1/3 auf a2, b1 oder b2 mit seinem ersten Zug kommt. Beim zweiten Zug erreicht er dann von diesen 3 Feldern aus a3 mit den Wahrscheinlichkeiten in der Klammer, also 1/5, 1/8 und 0.  
Als Quelle wird von Hemme angegeben: Schriftliches Abitur im Leistungsfach Mathematik, Aufgabe C/e, Thüringen, 23. April 2010.

VG Spica


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Königszüge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mo 10.07.2023
Autor: Fulla

Hallo Spica,

> Hallo an die beiden Antworter,

>

> also seid ihr auch der Meinung, dass P [mm]\approx[/mm] 11,1 % sein
> müsste?

Nein, sind sie nicht.

Bei deinem Lösungsversuch "2 von 18 möglichen Wegen führen zum Feld A3 [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]P=\frac{2}{18}[/mm]" berücksichtigst du nicht, dass die 18 möglichen Ergebnisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.

Lieben Gruß
Fulla

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Königszüge: Präzisierung der Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 10.07.2023
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Spica

In meiner ersten Antwort habe ich schon die Formel zur Berechnung angegeben:


$ [mm] P_2 [/mm] $ (a1 -> a3) = $ [mm] P_1(a1 [/mm] $ -> a2) * $ [mm] P_1(a2 [/mm] $ -> a3) + $ [mm] P_1(a1 [/mm] $ -> b2) * $ [mm] P_1(b2 [/mm] $ -> a3)

In Zahlen wird daraus:

$ [mm] P_2 [/mm] $ (a1 -> a3) = (1/3) * (1/5) + (1/3) * (1/8) = (1/3) * (13/40) = 13 / 120 ≈ 0.10833 ≈ 10.83%

Damit die Aufgabe wirklich ganz klar gestellt ist, müsste man sie vielleicht so präzisieren: "Für jeden einzelnen Zug bzw. "Schritt" des Königs wird jeweils aus den von seinem aktuellen Feld aus tatsächlich zugelassenen Zügen einer nach dem Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit ausgewählt und ausgeführt."

LG  ,   Al-Chwarizmi

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Königszüge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Mo 10.07.2023
Autor: Spica

Danke an alle!
Jetzt ist der Groschen gefallen.
VG Spica

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