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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Do 08.06.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | Es sei ( [mm] \IR,+, [/mm] ·) der Körper der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Auf der Menge [mm] \IR^{2} [/mm] = {(x, y) : x, y [mm] \in \IR [/mm] } sei die Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] definiert durch
[mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}} \oplus \vektor{x_{2} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}}
[/mm]
und die Verknüpfung [mm] \odot [/mm] definiert durch
[mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}} \odot \vektor{x_{2} \\ y_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}*x_{2}-y_{1}*y_{2} \\ x_{1}*y_{2}+x_{2}*y_{1}}
[/mm]
für alle [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}}, \vektor{x_{2} \\ y_{2}} \in \IR^{2}
[/mm]
.Zeigen Sie, dass ( [mm] \IR^{2}, \oplus, \odot [/mm] ) ein Körper ist mit Nullelement [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und Einselement [mm] \vektor{1 \\ 0}. [/mm] |
Hallo, ich versuche schon die ganze Zeit diese Aufgabe zu lösen. Das für Körper bestimmte Axiome erfüllt sein müssen ist mir klar, aber wie zeige ich dann hier, dass ( [mm] \IR^{2}, \oplus, \odot [/mm] ) auch ein Körper ist? Wie muss ich hier vorgehen?
Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe. Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 08.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Thomas,
> Es sei ( [mm]\IR,+,[/mm] ·) der Körper der reellen Zahlen mit der
> üblichen Addition und Multiplikation. Auf der Menge
> [mm]\IR^{2}[/mm] = {(x, y) : x, y [mm] \in \IR [/mm] } sei die Verknüpfung
> [mm]\oplus[/mm] definiert durch
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}} \oplus \vektor{x_{2} \\ y_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}}[/mm]
>
> und die Verknüpfung [mm]\odot[/mm] definiert durch
>
> [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}} \odot \vektor{x_{2} \\ y_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}*x_{2}-y_{1}*y_{2} \\ x_{1}*y_{2}+x_{2}*y_{1}}[/mm]
>
> für alle [mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}}, \vektor{x_{2} \\ y_{2}} \in \IR^{2}[/mm]
>
> .Zeigen Sie, dass ( [mm]\IR^{2}, \oplus, \odot[/mm] ) ein Körper ist
> mit Nullelement [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] und Einselement [mm]\vektor{1 \\ 0}.[/mm]
>
> Hallo, ich versuche schon die ganze Zeit diese Aufgabe zu
> lösen. Das für Körper bestimmte Axiome erfüllt sein müssen
> ist mir klar, aber wie zeige ich dann hier, dass ( [mm]\IR^{2}, \oplus, \odot[/mm]
> ) auch ein Körper ist? Wie muss ich hier vorgehen?
Schade, dass du nicht aufgeschrieben hast, was du schon alles ausprobiert hast.
Du musst der Reihe nach die Gültigkeit der Körperaxiome zeigen. Dabei benutzt du die Tatsache, dass ( [mm]\IR,+,[/mm] ·) ein Körper ist, in dem also die Axiome erfüllt sind.
Beispiel Kommutativgesetz:
[mm]\vektor{x_{1} \\ y_{1}} \oplus \vektor{x_{2} \\ y_{2}}[/mm]
[mm] = \vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}}[/mm]
[mm] =\vektor{x_{2}+x_{1} \\ y_{2}+y_{1}}[/mm] , da die Addition in ( [mm]\IR,+,[/mm] ·) kommutativ ist.
[mm] = \vektor{x_{2} \\ y_{2}} \oplus \vektor{x_{1} \\ y_{1}}[/mm]
Entsprechend zeigst du die Gültigkeit der übrigen Axiome. Es ist in erster Linie Schreibarbeit.
Gruß
Sigrid
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