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| Aufgabe | Wir setzen [mm] \IZ [/mm] mit den üblichen Rechenregeln als gegeben voraus. Für eine feste natürlich Zahl [mm] \IN \in \IN
[/mm]
schreiben wir a [mm] \equiv [/mm] b mod N falls N die Differenz a−b teilt. Das heißt, es existiert ein c [mm] \in \IZ [/mm] mit a−b = c·N.
Auf der Menge [mm] \IZ/N [/mm] := {0, . . . ,N − 1} definieren wir eine Verknüpfung +N durch:
i.) a +N b [mm] \equiv [/mm] a+b mod N
ii.) a +N b [mm] \in \IZ/N
[/mm]
Zeigen Sie: Diese Verknupfung ist wohldefiniert und [mm] (\IZ/N [/mm] ,+N) ist eine Gruppe.
Hinweis: Man kann die Verknüpfung auch so verstehen: Wir addieren a und b in [mm] \IZ [/mm] und teilen die Summe
mit Rest durch N. Unser Ergebnis ist der Rest der Division.
Analog dazu definieren wir auf [mm] \IZ/N [/mm] auch eine Multiplikation ·N durch
i.) a ·N b [mm] \equiv [/mm] a · b mod N
ii.) a ·N b [mm] \in \IZ/N
[/mm]
Zeigen Sie:
a.) Falls N =: p eine Primzahl ist, ist Fp [mm] :=\IZ/p [/mm] ein Körper.
b.) Jeder Körper K enthält entweder [mm] \IQ [/mm] oder Fp für eine Primzahl p als Teilkörper.
Hinweis zu b): Betrachten Sie die Ausdrücke 1 + · · · + 1 [mm] \in [/mm] K. |
ich habe es bereits geschafft zu zeigen dass es sich bei der addition um eine abelsche gruppe handelt.
jetzt müsste ich noch zeigen, dass es sich falls N eine Primzahl ist um eine abelsche Gruppe der Multiplikation handelt, und dass das Distributivgesetz gilt. Hier komm ich leider nicht weiter. und zur teilaufgabe b ist mir bisher auch kein vernünftiger ansatz eingefallen. ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 31.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Lord-Fishbone!
Erst einmal zu den benutzten Bezeichnungen:
[mm] $\IZ/ n\IZ:=\IZ/ [/mm] N$
dann ist [mm] $\IZ/ n\IZ:=\{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{n-1}\}$ [/mm] in Abgrenzung zu den ganzen Zahlen aus [mm] \IZ.
[/mm]
Dann definieren wir deine Verknüpfungen:
[mm] $N+:=\oplus$
[/mm]
[mm] $\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}$
[/mm]
[mm] $N*:=\odot$
[/mm]
[mm] $\overline{a}\odot\overline{b}=\overline{a*b}$
[/mm]
[mm] \underline{\text{1. die Wohldefiniertheit von \oplus und \odot}} [/mm] 
sei dazu [mm] \overline{a}=\overline{a'} [/mm] und [mm] \overline{b}=\overline{b'}
[/mm]
Wohldefiniertheit von [mm] \oplus:
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] $n|(a-a')$ und $n|(b-b')$
[mm] \Rightarrow [/mm] $ n|(a-a')+(b-b')=(a-b)-(a'+b')$
also [mm] \overline{a+b}=\overline{a'+b'}
[/mm]
[mm] \Rightarow \oplus [/mm] ist wohldefiniert
Wohldefinietheit von [mm] \odot
[/mm]
[mm] $n|(a-a')\to [/mm] n|(a-a')b=a*b-a'*b$
[mm] $n|(b-b')\to [/mm] n|a'(b-b')=a'b-a'b'$
also teil n auch die Summe:
[mm] $n|(a*b-a'*b')\Rightarrow \overline{a*b}=\overline{a'*b'}$
[/mm]
Somit ist auch [mm] \odot [/mm] wohldefiniert.
Da du die additiven Eigenschaften eines Körpers schon gezeigt hast bleibt folgendes zu zeigen:
[mm] $\forall a,b,c\in\IZ/ p\IZ\backslash\{0\}$
[/mm]
K5 [mm] $a\odot (b\odot c)=(a\odot b)\odot [/mm] c$
K6 [mm] $a\odot b=b\odot [/mm] a$
K7 [mm] \exists [/mm] ein Element $1 [mm] \in\IZ/ p\IZ\backslash\{0\}$ [/mm] mit [mm] $1\odot [/mm] a=a$
und es ist [mm] $1\not=0$
[/mm]
K8 [mm] $\forall a\in\IZ/ p\IZ\backslash\{0\}\exists a^{-1}\in\IZ/p\IZ\backslash\{0\}$ [/mm] mit [mm] $a\odot a^{-1}=1$
[/mm]
K9 [mm] $a\odot(b\oplus c)=a\odot [/mm] b [mm] \oplus a\odot [/mm] b$
K10 [mm] $(a\oplus b)\odot [/mm] c= [mm] a\odot c\oplus b\odot [/mm] c$
Einmal Beispielhaft ein Distributivgesetz:
[mm] $\overline{a}\odot(\overline{b}\oplus\overline{c})=\overline{a}\odot(\overline{a+b})=\overline{a*(b+c)}$
[/mm]
da in [mm] \IZ [/mm] die Distributivgesetze gelten:
[mm] $=\overline{a*b+a*c}=\overline{a*b}\oplus\overline{a*c}=\overline{a}\odot\overline{b}\oplus\overline{a}\odot\overline{c}$
[/mm]
Noch ein Satz zu [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] . [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ist ein Ring und wird der Restklassenring [mm] \IZ [/mm] modulo [mm] n\IZ [/mm] genannt. [mm] \IF_p [/mm] ist ein Körper da in ihm - im Gegensatz zu [mm] \IZ/n\IZ [/mm] - jedes Element bis auf das neutrale Element bzgl [mm] \oplus [/mm] invertierbar ist.
Bei b) kann ich dir leider nicht weiter helfen darum : Die Frage nu´r teilweise beantwortet.
MfG
Sashman
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ich versteh leider nicht so ganz wie ich damit die assoziativität der Multiplikation und die Dirstributivität zeigen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Fishbone!
K5 - K7, K9, K10 sind die Axiome, die noch nachzuweisen hast damit
[mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] zu einem kommutativen Ring mit 1 (neutrales Element bzgl [mm] \odot) [/mm] wird. Das kannst du für alle n nachweisen. Für K8 - Die Existenz eines inversen Elements bzgl [mm] \odot [/mm] - mußt du voraussetzen das n=p prim ist, da nur dann alle Elemente aus [mm] \IZ/p\IZ [/mm] mit Ausnahme von [mm] $\overline{0}$ [/mm] invertierbar sind.
Was ich dir mit dem Beispiel der Distrbutivgesetze zeigen wollte, ist das du nach Anwendung der Definitionen von [mm] \odot [/mm] bzw [mm] \oplus [/mm] , d.h. alles unter dem 'Strich' steht, du die Rechenregeln von [mm] \IZ [/mm] unter dem Strich anwenden kannst.
Desweiteren sind die Definitionen die ich vorgenommen habe genau die selben wie bei dir in der Aufgabe nur die Bezeichner sind anders gewählt, um die Abgrenzung zu den ganzen Zahlen auf der einen Seite und die Verknüpfungen $*$ und + über [mm] \IZ [/mm] auf der anderen Seite von den Verknüpfungen und Elementen in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] abzugrenzen.
Dachte mir das löst das Durcheinander ein wenig auf, das durch die Wahl der Bezeichner entstanden ist.
Beispiel nochmals die Kommutativität von [mm] \odot:
[/mm]
[mm] \overline{a}\odot\overline{b}\stackrel{Df\odot}=\overline{a*b}
[/mm]
da [mm] \IZ [/mm] kommutativ ist gilt:
[mm] $\overline{a*b}=\overline{b*a}=\overline{b}\odot\overline{a}$
[/mm]
also insgesamt:
[mm] $\overline{a}\odot\overline{b}=\overline{b}\odot\overline{a}$
[/mm]
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 02.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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