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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
| Aufgabe | Definieren Sie auf dieselbe Weise wie in 3.) eine Addion und eine Multiplikation auf der Produktmenge [mm] \IC \times \IC.
[/mm]
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) und (a,b) * [mm] \cdot \* [/mm] (c,d) = (ac - db, ad + bc)
für alle a, b, c, d [mm] \in \IC. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \IC \times \IC [/mm] mit diesen Verknüpfungen ein kommutativer Ring, aber kein Körper ist. |
Guten Abend,
In Aufgabe 3. wurde beweisen, dass [mm] \IQ \times \IQ [/mm] ein Körper ist.
Also. Ich habe bereits alle nötigen schritte bis zum kommutativen Ring bewiesen. Nun weiß ich aber nicht warum [mm] \IC \times \IC [/mm] kein Körper ist.
Das fehlende Axiom wäre ja, dass es zu jedem El. aus [mm] \IC \times \IC [/mm] /{0} ein Inverses geben muss.
Nur weiß ich nicht warum es dass nicht geben soll.
Ich hätte folgendes gedacht:
sei (a,b) [mm] \in \IC \times \IC \{0} [/mm] (a,b) [mm] \not= [/mm] 0 , [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \not= [/mm] 0
(a',b') = [mm] (\bruch{a}{a^{2} + b^{2}},\bruch{-b}{a^{2} + b^{2}}) [/mm]
nach Umformen kommt mein Neutrales Element wieder (1,0) raus.
Aber dies steht ja im Wiederspruch zur Angabe?!?
Kann mir jemand bitte helfen.
Schöne Grüße
Sabrina
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> Ich hätte folgendes gedacht:
> sei (a,b) [mm]\in \IC \times \IC \{0}[/mm] (a,b) [mm]\not=[/mm] 0 , [mm]a^{2}[/mm] +
> [mm]b^{2} \not=[/mm] 0
Hallo,
mit [mm] a^2+b^2\not=0 [/mm] schränkst Du die zulässigen Zahlenpaare mehr ein, als daß Du nur (0,0) ausnimmst.
Was ist mit (i,1)? Hat das ein inverses Element?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo Angela,
Also mit dem Inversen finden bin ich mir net so sicher.
Habe das Inverse aus der Lesung verwendet von [mm] \IR \times \IR [/mm] .
aber ich weiß ich wie selber eins finde. ist das reines probieren oder gibt es da eine Formel. Habe nichts dazu in den Unterlagen gefunden
weil die multiplikation ist ja nicht einfach gestalten (aa'-bb'. ab'+a'b)
Kann deine Frage ehrlichgesagt nicht beantworten.
Ach wieso schänke ich den bereich bei $ [mm] a^2+b^2\not=0 [/mm] $ mehr ein als nur (0,0) auszunehmen?
Danke im Vorraus
Gruß Sabrina
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> Hallo Angela,
>
> Also mit dem Inversen finden bin ich mir net so sicher.
> Habe das Inverse aus der Lesung verwendet von [mm]\IR \times \IR[/mm]
> .
> aber ich weiß ich wie selber eins finde. ist das reines
> probieren oder gibt es da eine Formel. Habe nichts dazu in
> den Unterlagen gefunden
> weil die multiplikation ist ja nicht einfach gestalten
> (aa'-bb'. ab'+a'b)
Du mußt dafür
(i,1)*(x,y)=(1,0) lösen.
>
> Kann deine Frage ehrlichgesagt nicht beantworten.
>
> Ach wieso schänke ich den bereich bei [mm]a^2+b^2\not=0[/mm] mehr
> ein als nur (0,0) auszunehmen?
Hast Du die Summe der Quadrate bereits für (i,1) ausgerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
> Du mußt dafür
> (i,1)*(x,y)=(1,0) lösen.
Das hab ich schon versucht (halt mit a und b) aber:
(i,1) * (x,y)=(1,0)
(ix-y , iy+x) = (1,0)
ix-y+i(iy+x) = 1
[mm] ix-y+yi^{2} [/mm] + xi =1
2xi - y + [mm] yi^{2} [/mm] = 1 gem. Def [mm] i^{2} [/mm] = -1
2xi - 2y = 1
[mm] xi-y=\bruch{1}{2}
[/mm]
(ich hoff dass da schon was richtiges dabei ist )
Ja, aber wie soll mann den mit so vielen unbekannten was rausbekommen
> Hast Du die Summe der Quadrate bereits für (i,1) ausgerechnet?
Versucht triffst eher
[mm] (i,1)^{2} [/mm] + [mm] (i,1)^{2} [/mm] = [mm] (i+1i)^{2} [/mm] + [mm] (i+1i)^{2} [/mm] = [mm] 8i^{2} [/mm] =-8 (da gem. Def [mm] i^{2} [/mm] = -1)
Danke im Vorraus.
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> > Du mußt dafür
> > (i,1)*(x,y)=(1,0) lösen.
>
> Das hab ich schon versucht (halt mit a und b) aber:
> (i,1) * (x,y)=(1,0)
> (ix-y , iy+x) = (1,0)
> ix-y+i(iy+x) = 1
Himmel! Was veranstaltest Du denn hier???
Jetzt atme mal tief durch und überlege, wann zwei Zahlenpaare gleich sind.
Sie sind gleich, wenn alle Komponenten gleich sind.
Also folgt aus
> (ix-y , iy+x) = (1,0),
daß
ix-y =1 und
iy+x=0
gelten müssen.
> > Hast Du die Summe der Quadrate bereits für (i,1)
> ausgerechnet?
Hier bezog ist mich auf Dein Eingangspost, in welchem Du mitteiltest, daß das Inverse zu (a,b) folgendes ist:
[mm] (\bruch{a}{a^{2} + b^{2}},\bruch{-b}{a^{2} + b^{2}}) [/mm]
Nun sollst Du für (i,1) mal den Nenner des Inversen ausrechnen.
Da sind doch keine Zahlenpaare zu quadrieren...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 11.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo
> Himmel! Was veranstaltest Du denn hier???
Dass weiß ich leider selber net so genau!
Jetzt wo ich es mir nochmal anschaue sieht's ja net grad toll aus *g*
> Jetzt atme mal tief durch und überlege, wann zwei Zahlenpaare gleich sind.
> Sie sind gleich, wenn alle Komponenten gleich sind.
> Also folgt aus
>> (ix-y , iy+x) = (1,0),
> daß
> ix-y =1 und
> iy+x=0
> gelten müssen.
Ok, soweit so gut, hieraus kann man dann folgern:
ix=y+1
iy=-x
mh.. also dann gibt es kein i damit die Gleichungen stimmen.
Also hat (i,0) kein Inverses. Somit kann es kein Körper sein, oder?
und man kann für den Körper nur die {0} ausschließen, oder?
> Hier bezog ist mich auf Dein Eingangspost, in welchem Du mitteiltest, daß > das Inverse zu (a,b) folgendes ist:
> $ [mm] (\bruch{a}{a^{2} + b^{2}},\bruch{-b}{a^{2} + b^{2}}) [/mm] $
> Nun sollst Du für (i,1) mal den Nenner des Inversen ausrechnen.
$ [mm] (\bruch{i}{i^{2} + 1^{2}},\bruch{-1}{i^{2} + 1^{2}}) [/mm] $
Dann würde duch [mm] i^{2} [/mm] ist ja gem. Def. (darf ich diese hier anwenden. Die gilt doch nur in [mm] \IC [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe) =-1 und dann wäre der nenner o, was ja nicht sein darf. also ist es kein Inverses
Danke im Vorraus
Sabrina
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> > ix-y =1 und
> > iy+x=0
> > gelten müssen.
> Ok, soweit so gut, hieraus kann man dann folgern:
> ix=y+1
> iy=-x
> mh.. also dann gibt es kein i damit die Gleichungen
> stimmen.
Hallo,
das kann man so nicht sagen. Das i steht ja da. Da kannst Du nicht einfach sagen: es gibt kein i.
Aus der ersten Gleichung folgt: x=0 und y=-1. Dies in die zweite eingesetzt ergibt -i=0. Widerspruch, also hat (i,0) kein Invrses.
> Also hat (i,0) kein Inverses. Somit kann es kein Körper
> sein, oder?
Genau. Im Körper muß jedes v. der Null verschiedene Element ein Inverses haben.
> und man kann für den Körper nur die {0} ausschließen,
> oder?
>
> > Hier bezog ist mich auf Dein Eingangspost, in welchem Du
> mitteiltest, daß > das Inverse zu (a,b) folgendes ist:
>
> > [mm](\bruch{a}{a^{2} + b^{2}},\bruch{-b}{a^{2} + b^{2}})[/mm]
>
> > Nun sollst Du für (i,1) mal den Nenner des Inversen
> ausrechnen.
>
> [mm](\bruch{i}{i^{2} + 1^{2}},\bruch{-1}{i^{2} + 1^{2}})[/mm]
> Dann
> würde duch [mm]i^{2}[/mm] ist ja gem. Def. (darf ich diese hier
> anwenden. Die gilt doch nur in [mm]\IC[/mm] wenn ich das richtig
> verstanden habe) =-1 und dann wäre der nenner o, was ja
> nicht sein darf. also ist es kein Inverses
Daß der Nenner hier =0 wird, wollte ich Dir zeigen.
Ich verstehe aber nicht, was Du mit dieser Bem. meinst:
> Dann
> würde duch [mm]i^{2}[/mm] ist ja gem. Def. (darf ich diese hier
> anwenden. Die gilt doch nur in [mm]\IC[/mm] wenn ich das richtig
> verstanden habe) =-1 und dann ...
Wo siehst Du ein Problem oder Widerspruch?
Ich verstehe das nicht und kann s folglich nicht klären.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 11.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
> Ich verstehe aber nicht, was Du mit dieser Bem. meinst:
> > Dann
> > würde duch $ [mm] i^{2} [/mm] $ ist ja gem. Def. (darf ich diese hier
> > anwenden. Die gilt doch nur in $ [mm] \IC [/mm] $ wenn ich das richtig
> > verstanden habe) =-1 und dann ...
> Wo siehst Du ein Problem oder Widerspruch?
> Ich verstehe das nicht und kann s folglich nicht klären.
Also nicht wirklich ein Problem, sondern wir haben die Def. dass [mm] i^{2} [/mm] =-1 ist nur zu [mm] \IC [/mm] geschrieben. Zählt dass dann auch in allen anderen Körpern oder nur unter [mm] \IC
[/mm]
Danke für die Hilfe.
schönen Sonntag
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> Also nicht wirklich ein Problem, sondern wir haben die Def.
> dass [mm]i^{2}[/mm] =-1 ist nur zu [mm]\IC[/mm] geschrieben. Zählt dass dann
> auch in allen anderen Körpern oder nur unter [mm]\IC[/mm]
Na, in allen Körpern, das wäre doch sinnlös, oder siehst Du in [mm] \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ [/mm] irgendwo eine imaginäre Zahl?
Die haben wir in [mm] \IC. [/mm]
Ich weiß nicht genau, was Dir im Kopf umherschwirrt, aber mal ein Hinweis: [mm] 5\in \IC. [/mm] Es sind die reellen Zahlen doch eine Teilmenge der komplexen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 So 11.11.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
> Na, in allen Körpern, das wäre doch sinnlös, oder siehst Du in $ [mm] \IZ [/mm] $ / $ [mm] 3\IZ [/mm] $ irgendwo eine imaginäre Zahl?
> Die haben wir in $ [mm] \IC. [/mm] $
> Ich weiß nicht genau, was Dir im Kopf umherschwirrt, aber mal ein Hinweis: $ [mm] 5\in \IC. [/mm] $ Es sind die reellen Zahlen doch eine Teilmenge der komplexen.
Ok ich hab mein Problem gefunden. Mir war nicht bewusst was eigentlich [mm] \IC [/mm] alles beinhaltet und was das i dann darstellt. Hab mal nachgegoolgelt. Also ist i nur dazu da dass man aus einer neg. zahl die Wurzel ziehen kann, da da eben [mm] i^{2} [/mm] = 1 ist.
Wir haben das in der Lesung nicht so genau defeniert, deshalb war mir gar net bewusst, dass da so ein unterschied zu [mm] \IR [/mm] besteht.
(http://www.cip.ifi.lmu.de/~kasch/LinAlg1.pdf seite 10, falls dich interesiert)
Danke für deine Hilfe!
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