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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mo 04.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Warum gibt es keinen Körper mit 6 Elementen? |
Ich weiß, Char(K) teilt 6, also 3 oder zwei.
a+a=0 oder a+a+a=0 also die von a erzeugte Untergruppe hat ord 2 oder 3. Aber wie entscheide ich ob es einen Körper mit 6 Elementen gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mo 04.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
ist beispielsweise [mm] $\textrm{char} \, [/mm] K = 3$, so ist [mm] $\mathbb{F} [/mm] = [mm] \{0, 1, 1 + 1\}$ [/mm] ein unterkörper von $K$ mit drei elementen. überlege dir, wie man nun $K$ zu einem [mm] $\mathbb{F}$-vektorraum [/mm] machen kann, das heißt wie kann man eine skalarmultiplikation [mm] $\cdot: \mathbb{F} \times [/mm] K [mm] \longrightarrow [/mm] K$ definieren? da gibt es eine sehr naheliegende möglichkeit - eine multiplikation gibt es ja schon...
wieveiel elemente kann $K$ dann haben? kann das jemals $6$ werden? diese konstrukion geht dann analog für jede andere primzahl.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 04.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
Hallo vielen Dank für die Antwort.
Also ich habe das jetzt so verstanden, wenn ich z.B. einen Körper mit 12 Elementen habe. Dann müßte die Char(k) =2,3 sein, da dies die einzigsten Primteiler sind und eine Chrakteristik immer Char(k)=p ist.
Sodann müßte also |K| = 4,8,16,... oder = 9, 27,... sein. Daraus folgt |K| ist nicht gleich 12 und somit gibt es keinen Körper mit 12 Elementen.
Ist das so richtig begründet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mo 04.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo vielen Dank für die Antwort.
> Also ich habe das jetzt so verstanden, wenn ich z.B. einen
> Körper mit 12 Elementen habe. Dann müßte die Char(k) =2,3
> sein, da dies die einzigen Primteiler sind und eine
> Charakteristik immer Char(k)=p ist.
> Sodann müßte also |K| = 4,8,16,... oder = 9, 27,... sein.
> Daraus folgt |K| ist nicht gleich 12 und somit gibt es
> keinen Körper mit 12 Elementen.
Ja, die Ordnung eines endlichen Körpers ist eine Potenz der Charakteristik (siehe deine andere Frage).
Gruß
Dieter
>
> Ist das so richtig begründet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 04.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
Warum hat ein Körper eigentlich [mm] p^n[/mm] Elemente?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 04.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Warum hat ein Körper eigentlich [mm]p^n[/mm] Elemente?
Siehe oben die erste Antwort: Eben weil er ein Vektorraum (der Dimension n) über seinem Primkörper ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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