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| Aufgabe | Sei n eine natürliche Zahl.
a) Beweise, dass die Teilmenge
[mm] K_n [/mm] := [mm] {p+\wurzel{n}*q: p,q \in \IQ}
[/mm]
von [mm] \IR [/mm] mit der von [mm] \IR [/mm] induzierten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
b) Finde n, m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\not=m, [/mm] so dass [mm] K_n=K_m
[/mm]
c) Finde n,m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\not=m, [/mm] so dass [mm] K_n \not= K_m [/mm] |
Hallo zusammen
Muss obige Aufgabe lösen!
Bei a muss ich ja einfach die Axiome des Körpers durchprüfen, oder?
Aber bei b und c werd ich nicht wirklich schlau, wie kann es denn solche n's / m's geben??
Liebe Grüsse
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Hey Babybel73,
wenn du die a) gemacht hast, sollte dir die b) klarer werden.
Also gucken wir uns erstmal die a) an: welche Axiome musst du wirklich nachprüfen und welche sind schon dadurch gegeben, dass du die gleiche Verknüpfung wie auf [mm] $\IR$ [/mm] hast?
Als Beispiel: $a + b = b+a$ für alle $a,b [mm] \in K_n$ [/mm] musst du nicht beweisen, denn das folgt bereits daraus, dass es in [mm] $\IR$ [/mm] gilt.
Auf diese Art kannst du dir viele der Axiome sparen (überlege dir ganz genau welche), sodass du nicht mehr viel zeigen musst.
Um die verbliebenen zu zeigen empfehle ich eine Fallunterscheidung:
Fall 1: [mm] $\sqrt{n} \in \IQ$. [/mm] Dann kannst du [mm] $K_n$ [/mm] explizit angeben, das ist dann nämlich eine bereits bekannte Menge.
Fall 2: [mm] $\sqrt{n} \not\in \IQ$. [/mm] Das hilft dir dabei, multiplikativ Inverse zu finden - du wirst feststellen, dass es sehr ähnlich wie das Invertieren von komplexen Zahlen funktioniert, falls ihr das schon hattet.
Wenn du die a) gezeigt hast, ist die b) wie gesagt nicht mehr so schwer, denn alles was du dafür brauchst wird dir bei der a) unterwegs begegnen.
Sollte es noch Fragen zur a) geben immer gern her damit.
lg
Schadow
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Hallo Schadow
Ich schreibe mal auf, was ich gemacht habe, bevor ich deine Antwort bekommen habe:
Also, ein Menge K mit 2 Operationen +,* heisst Körper, wenn:
K1) (K,+) abelsche Gruppe
K2) Ist 0 das neutr. Elment von (K,+), so bildet (K \ {0},*)=: K* eine abelsche Gruppe
K3) a*(b+c)=a*b+a*c [mm] \forall [/mm] a,b,c, [mm] \in [/mm] K
Meine Lösung:
Zu K1)
1) (a+b)+c = a+(b+c) gilt in [mm] \IR
[/mm]
2) neutrales Element ist das neutrale Element in [mm] \IR, [/mm] also 0
3) Inverses Element: ?? (Könnte es [mm] -(p+\wurzel{n}*p) [/mm] sein?)
4) Kommutativität gilt in [mm] \IR, [/mm] also auch in [mm] K_n
[/mm]
Zu K2:
1) (a*b)*c= a*(b*c) Gilt in [mm] \IR [/mm] also auch in [mm] K_n
[/mm]
2) neutrales Element ist das neutrale Element von [mm] \IR, [/mm] also 1
3) Inverses Element: ??
4) Kommutativität gilt in [mm] \IR, [/mm] also auch in [mm] K_n
[/mm]
Zu K3:
Gilt in [mm] \IR, [/mm] also auch in [mm] K_n
[/mm]
Stimmt das soweit? Und was ist das additive/multiplikative Inverse?
Wieso brauche ich diese Fallunterscheidung?
> Um die verbliebenen zu zeigen empfehle ich eine
> Fallunterscheidung:
> Fall 1: [mm]\sqrt{n} \in \IQ[/mm]. Dann kannst du [mm]K_n[/mm] explizit
> angeben, das ist dann nämlich eine bereits bekannte
> Menge.
> Fall 2: [mm]\sqrt{n} \not\in \IQ[/mm]. Das hilft dir dabei,
> multiplikativ Inverse zu finden - du wirst feststellen,
> dass es sehr ähnlich wie das Invertieren von komplexen
> Zahlen funktioniert, falls ihr das schon hattet.
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe!
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das Inverse bezüglich + ist richtig. Die Fallunterscheidung brauchst du gleich beim Inversen bezüglich *.
Nehmen wir erst mal gar nichts an. Bei den komplexen Zahlen gilt ja nun [mm] z\bar{z}=|z|^2 [/mm] und daher [mm] z\frac{\bar{z}}{|z|^2}=1, [/mm] d.h. [mm] z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.
[/mm]
Definiere auch hier einfach mal [mm] \overline{p+\sqrt{n}q}=p-\sqrt{n}q.
[/mm]
Auch hier gilt das etwas ähnliches, wie bei den komplexen Zahlen (wie oben gezeigt). Du hast aber das Problem, dass ein Nenner nicht 0 werden darf. Und so kommt diese ominöse Fallunterscheidung dann zu Stande, probier da mal etwas rum.
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Hallo Teufel
Okey. Leider haben wir die komplexen Zahlen in der Vorlesung noch nicht durchgenommen.... :(
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:28 Do 17.10.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, kein Problem. Nimm dir dann einfach deine Zahl [mm] x=p+\sqrt{n}q [/mm] und multipliziere diese mal mit [mm] \bar{x}=p-\sqrt{n}q. [/mm] Es gilt ja dann
[mm] x\bar{x}=p^2-nq^2. [/mm] Wenn du beide Seiten durch [mm] p^2-nq^2 [/mm] teilst, erhältst du [mm] x\frac{\bar{x}}{p^2-nq^2}=1, [/mm] also [mm] x^{-1}=\frac{\bar{x}}{p^2-nq^2}=\frac{p}{p^2-nq^2}+\sqrt{n}\frac{-q}{p^2-nq^2} [/mm] als möglichen Kandidaten für ein Inverses.
ABER:
1. [mm] \frac{p}{p^2-nq^2} [/mm] und [mm] \frac{-q}{p^2-nq^2} [/mm] müssen in [mm] \IQ [/mm] liegen. Tun sie das?
2. [mm] p^2-nq^2 [/mm] kann ja auch mal 0 sein. Wann passiert das nicht? Die Antwort wurde schon verraten, aber vollziehe mal nach, warum das so ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Fr 18.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Babybel73!
> Also, ein Menge K mit 2 Operationen +,* heisst Körper,
> wenn:
> K1) (K,+) abelsche Gruppe
> K2) Ist 0 das neutr. Elment von (K,+), so bildet (K \
> {0},*)=: K* eine abelsche Gruppe
> K3) a*(b+c)=a*b+a*c [mm]\forall[/mm] a,b,c, [mm]\in[/mm] K
> Meine Lösung:
> Zu K1)
> 1) (a+b)+c = a+(b+c) gilt in [mm]\IR[/mm]
Also gilt dies insbesondere für [mm] $a,b,c\in K_n$.
[/mm]
> 2) neutrales Element ist das neutrale Element in [mm]\IR,[/mm] also
> 0
Klar ist
$0+a=a+0=a$
für alle [mm] $a\in K_n$.
[/mm]
Also ist $0$ neutrales Element von [mm] $K_n$, [/mm] wenn denn [mm] $0\in K_n$ [/mm] gilt.
Gilt [mm] $0\in K_n$?
[/mm]
> 3) Inverses Element: ?? (Könnte es [mm]-(p+\wurzel{n}*p)[/mm]
> sein?)
Hier gilt Analoges:
Gilt für [mm] $p+\wurzel{n}*q\in K_n$ [/mm] auch [mm] $-(p+\wurzel{n}*q)\in K_n$?
[/mm]
> 4) Kommutativität gilt in [mm]\IR,[/mm] also auch in [mm]K_n[/mm]
Ja.
> Zu K2:
> 1) (a*b)*c= a*(b*c) Gilt in [mm]\IR[/mm] also auch in [mm]K_n[/mm]
Ja.
> 2) neutrales Element ist das neutrale Element von [mm]\IR,[/mm]
> also 1
Wieder die Frage: Gilt überhaupt [mm] $1\in K_n$?
[/mm]
> 3) Inverses Element: ??
Das hat Teufel ja erklärt.
> 4) Kommutativität gilt in [mm]\IR,[/mm] also auch in [mm]K_n[/mm]
Ja.
> Zu K3:
> Gilt in [mm]\IR,[/mm] also auch in [mm]K_n[/mm]
Ja.
> Wieso brauche ich diese Fallunterscheidung?
> > Um die verbliebenen zu zeigen empfehle ich eine
> > Fallunterscheidung:
> > Fall 1: [mm]\sqrt{n} \in \IQ[/mm]. Dann kannst du [mm]K_n[/mm] explizit
> > angeben, das ist dann nämlich eine bereits bekannte
> > Menge.
> > Fall 2: [mm]\sqrt{n} \not\in \IQ[/mm]. Das hilft dir dabei,
> > multiplikativ Inverse zu finden - du wirst feststellen,
> > dass es sehr ähnlich wie das Invertieren von komplexen
> > Zahlen funktioniert, falls ihr das schon hattet.
Die Fallunterscheidung benötigst du beim Ermitteln des multiplikativ Inversen zu Elementen [mm] $a\in K_n\setminus\{0\}$.
[/mm]
Das wirst du sehen, wenn du Teufels Fragen beantwortest.
Sein Vorgehen funktioniert nur im 2. Fall.
Viele Grüße
Tobias
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