Körpererweiterungsgrad < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Guten Tag und Hallo. Auf einem Übungszettel soll $ [mm] [\IQ (\wurzel{3},i)\ [/mm] :\ [mm] \IQ [/mm] ] $ bestimmt werden.
Ungeachtet dessen, dass unsere Vorlesung dazu bisher nur wenig hergibt habe ich es versucht, brauche aber noch Hilfe. |
Es ist ja $ [mm] \IQ \subset \IQ (\wurzel{3}) \subset \IQ (\wurzel{3}, [/mm] i) $
und $ [mm] x^2-3 [/mm] $ das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{3} [/mm] (habe ich bewiesen) und $ [mm] x^2+1 [/mm] $ das Minimalpolynom von $ i $. Beide haben Grad 2. Aber jetzt habe ich $ [mm] \IQ \wurzel{3},i) [/mm] $ gewissermaßen in $ [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] $ und $ [mm] \IQ [/mm] (i) $ aufgeteilt. Wie füge ich das Puzzle zusammen?
Irgendwie mit dem Wissen, dass $ [mm] \IQ (\wurzel{3})\subset \IR [/mm] $ und $ [mm] i\notin \IR [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 04.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Guten Tag und Hallo. Auf einem Übungszettel soll [mm][\IQ (\wurzel{3},i)\ :\ \IQ ][/mm]
> bestimmt werden.
>
> Ungeachtet dessen, dass unsere Vorlesung dazu bisher nur
> wenig hergibt habe ich es versucht, brauche aber noch
> Hilfe.
> Es ist ja [mm]\IQ \subset \IQ (\wurzel{3}) \subset \IQ (\wurzel{3}, i)[/mm]
Genau. Und nach dem Gradsatz gilt dann [mm] $[\IQ(\sqrt{3}, [/mm] i) : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ(\sqrt{3})(i) [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{3})] \cdot [\IQ(\sqrt{3}) [/mm] : [mm] \IQ]$.
[/mm]
> und [mm]x^2-3[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\wurzel{3}[/mm] (habe ich
ueber [mm] $\IQ$! [/mm] Damit ist [mm] $[\IQ(\sqrt{3}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 2$.
> bewiesen) und [mm]x^2+1[/mm] das Minimalpolynom von [mm]i [/mm]. Beide haben
ebenfalls ueber [mm] $\IQ$! [/mm] Du musst aber das Minimalpolynom ueber [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] kennen, um [mm] $[\IQ(\sqrt{3})(i) [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{3})]$ [/mm] herauszufinden.
> Grad 2. Aber jetzt habe ich [mm]\IQ \wurzel{3},i)[/mm]
> gewissermaßen in [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] und [mm]\IQ (i)[/mm] aufgeteilt.
> Wie füge ich das Puzzle zusammen?
Welche moeglichen Werte kann [mm] $[\IQ(\sqrt{3})(i) [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{3})]$ [/mm] annehmen?
> Irgendwie mit dem Wissen, dass [mm]\IQ (\wurzel{3})\subset \IR[/mm]
> und [mm]i\notin \IR[/mm] ?
Ja. Das hilft dir, einen der moeglichen Werte auszuschliessen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Zunächst danke Felix.
Ist nicht $ [mm] x^2+1 [/mm] $ auch das Minimalpolynom von i über $ [mm] \IQ(\sqrt{3}) [/mm] $? Denn $ x+i [mm] \notin \IQ(\sqrt{3})[x] [/mm] $
Das hieße doch $ [mm] [\IQ(\sqrt{3})(i) [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{3})]=2 [/mm] $ und damit $ [mm] [\IQ(\sqrt{3}, [/mm] i) : [mm] \IQ] =[\IQ(\sqrt{3})(i) [/mm] : [mm] \IQ(\sqrt{3})]\cdot [\IQ(\sqrt{3}) [/mm] : [mm] \IQ] =2\cdot [/mm] 2=4 $. Oder bin ich auf einem dunklen Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 04.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zunächst danke Felix.
Buitte.
> Ist nicht [mm]x^2+1[/mm] auch das Minimalpolynom von i über
> [mm]\IQ(\sqrt{3}) [/mm]? Denn [mm]x+i \notin \IQ(\sqrt{3})[x][/mm]
Ja, ist es. Eventuell solltest du noch begruenden, warum es keine weiteren Moeglichkeiten geben kann.
> Das hieße doch [mm][\IQ(\sqrt{3})(i) : \IQ(\sqrt{3})]=2[/mm] und
> damit [mm][\IQ(\sqrt{3}, i) : \IQ] =[\IQ(\sqrt{3})(i) : \IQ(\sqrt{3})]\cdot [\IQ(\sqrt{3}) : \IQ] =2\cdot 2=4 [/mm].
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Vielen Dank.
Eine Frage habe ich noch: Was meinst du genau mit diesem Satz "Eventuell solltest du noch begruenden, warum es keine weiteren Moeglichkeiten geben kann." ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
da $i [mm] \notin \IQ(\wurzel{3})$ [/mm] ist, folgt, dass [mm] $[\IQ(\wurzel{3},i):\IQ(\wurzel{3})] [/mm] > 1$ ist. Somit ist der Grad des gesuchten Minimalpolynoms größer als eins. Da das Minimalpolynom kleinsten Grad hat und die Nullstellen deines Polynoms ja gerade i und -i sind, ist dein angegebenes Polynom irreduzibel über [mm] \IQ(\wurzel{3}) [/mm] und Minimalpolynom von i über [mm] \IQ(\wurzel{3}).
[/mm]
Ich denke felix hat das damit gemeint..
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Super! Das habe ich noch eingebaut.
Vielen Dank euch beiden und schönen Sonntag Abend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Guten Abend nochmals allerseits,
die dritte Teilaufgabe ist $ [mm] [\IQ (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})\ [/mm] :\ [mm] \IQ [/mm] ] $ zu bestimmen.
Da wir noch nicht behandelt haben, wie man eine Basis von z.B. $ [mm] \IQ (\sqrt{2}, \sqrt{3}) [/mm] $ bildet, kann ich nicht zeigen, dass [mm] \sqrt{5} [/mm] keine rationale Linearkombination dieser Basis ist.
Gibt es eine andere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen, als mit dem Weg, mit welchem ich die andere Teilaufgabe gelöst habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
also du musst genau wie oben wieder zeigen, dass $\wurzel{5} \notin \IQ(\wurzel{2},{\wurzel{3})$ liegt genau wie du zeigen musst, dass $\wurzel{3} \notin \IQ(\wurzel{2})$ gilt!
Das kannst du nur durch Widerspruch zeigen... Also erster Schritt:
zeige $\wurzel{3} \notin \IQ(\wurzel{2})$ Nimm an es ex. $a,b \in \IQ: \wurzel{2} = a + b\wurzel{3}$
und dann eben weiter für $\wurzel{5} \notin \IQ(\wurzel{2},{\wurzel{3})$
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
Basis von [mm] $\IQ(\wurzel{2})$ [/mm] über [mm] \IQ: $\{1,\wurzel{2}\}$
[/mm]
Basis von [mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})$ [/mm] über [mm] \IQ: $\{1,\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{2}\wurzel{3}\}$
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 04.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Hi. Tausend Dank.
Aber das ist genau mein Problem. Wie zeige ich, dass $ [mm] \wurzel{5}\notin \langle \{1,\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{2}\wurzel{3}\}\rangle_{\IQ} [/mm] $,
da kämen ja 4 Unbekannte in einer Gleichung vor...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mo 05.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja das ist blöd  . Leichter ist es wenn du zeigst, dass [mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3})$ [/mm] gilt. [mm] $\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}$ [/mm] ist dann das primitive Element der Körpererweiterung.
Den Vorteil, den du dann hast ist, dass du nur noch [mm] $\wurzel{5} [/mm] = a + b( [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3})$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IQ$ [/mm] zum Widerspruch führen musst.
Ich habs jetzt net gemacht, ich denk aber, dass das einfacher ist....
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Marschal |
Da gibt es nur ein Problem noch, ich müsste dann zeigen, dass $ [mm] \{1,\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{2}\wurzel{3}\} [/mm] $ wirklich eine Basis ist, also insbesondere dass die Elemente linear unabhängig sind.
Dann hätte ich wieder eine Gleichung mit 3 Unbekannten und ich bekomme das nicht hin.
Hast du mir vielleicht einen anderen guten Tipp?
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moin,
Du hast hier einen Vektorraum, dessen Dimension 4 ist.
Mach dir das am besten erstmal klar:
[mm] $[\IQ(\sqrt{2}:\IQ] [/mm] = 2$.
Zeige:
1. [mm] $\sqrt{3} \notin \IQ(\sqrt{2})$
[/mm]
2. [mm] $[\IQ(\sqrt{3},\sqrt{2}):\IQ(\sqrt{2}] [/mm] = 2$.
Mit beiden zusammen kannst du folgern, dass [mm] $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$ [/mm] eine Erweiterung vom Grad 4 (über [mm] $\IQ$) [/mm] ist.
Nun hast du genau 4 Elemente und möchtest zeigen, dass sie eine Basis bilden.
Dafür kann man entweder lineare Unabhängigkeit oder Erzeugendensystem zeigen.
Da du mit der Unabhängigkeit einige Probleme hast würde ich dir mal den anderen Weg empfehlen.
Also überlege dir, wie die Elemente von [mm] $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$ [/mm] aussehen und wieso sich jedes beliebige Element als [mm] $\IQ$-Linearkombination [/mm] deiner 4 Elemente schreiben lässt.
Wenn du das gezeigt hast dann bekommst du mit dem Wissen über die Vektorraumdimension die lineare Unabhängigkeit geschenkt.
Für die Frage, ob [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] in diesem Körper drin liegt würde ich dir folgendes empfehlen:
Angenommen [mm] $\sqrt{5} [/mm] = [mm] a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ [/mm] mit $a,b,c,d [mm] \in \IQ$.
[/mm]
Dann kann man beide Seiten quadrieren und da [mm] $(\sqrt{5})^2 [/mm] = 5 [mm] \in \IQ$ [/mm] kannst du dann durch geschicktes rumsortieren die lineare Unabhängigkeit ausnutzen und ein homogenes Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten erhalten.
Dieses ist leider nicht linear (alle Terme, die Unbekannte enthalten, sind quadratisch), aber mit ein paar geschickten Tricks (ähnlich zum klassischen Beweis, dass [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$) [/mm] lässt sich zeigen, dass dieses System keine Lösung in [mm] $\IQ^4$ [/mm] haben kann.
Solltest du dabei auf Probleme stoßen kannst du natürlich immer gern fragen. ;)
lg
Schadow
PS: Als Tipp fürs Gleichungssystem: Versuche nicht durch irgend etwas zu teilen.
Also hast du als Beispiel die beiden Gleichungen
$ab + cd = 0$ und $ac + bd = 0$ so fang bitte nicht an mit $a = [mm] \frac{-cd}{b}$ [/mm] falls $b [mm] \neq [/mm] 0$ sondern erweitere besser beide Gleichungen und erhalte dann
$abc + c^2d = 0$ sowie $abc + b^2d=0$.
Es ist auf diese Art deutlich übersichtlicher und du müsstest sonst am Ende eh wieder den Nenner wegmultiplizieren.
Überdies willst du nur auf einen Widerspruch folgern, also reicht es vollkommen, dass du Folgerungen machst; es müssen keine Äquivalenzumformungen sein.
So könnte in obigem Beispiel etwa ohne Probleme $b=0$ oder $c=0$ gewesen sein, solange man mit dem neuen System immer noch auf einen Widerspruch kommt stört das nicht.
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moin,
Du machst es dir hier leider etwas zu einfach.
Die Erweiterung [mm] $\IQ(\alpha) [/mm] | [mm] \IQ$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] hat Grad 4.
Daher müsste man zeigen, dass es keine $a,b,c,d [mm] \in \IQ$ [/mm] gibt, sodass
[mm] $\sqrt{5} [/mm] = a + [mm] b\alpha [/mm] + [mm] c\alpha^2 [/mm] + [mm] d\alpha^3$ [/mm] gelten kann, denn es ist [mm] $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] (als [mm] $\IQ-$Vekorraum).
[/mm]
Die Aussage, dass [mm] $\IQ(\beta) [/mm] = [mm] \{a+b\beta \mid a,b \in \IQ \}$ [/mm] gilt nur, wenn die Erweiterung [mm] $\IQ(\beta) [/mm] | [mm] \IQ$ [/mm] Grad 2 hat, denn dann ist [mm] $\{1,\beta\}$ [/mm] eine Basis.
Da dies hier leider nicht der Fall ist, verringert das die Anzahl der Variablen im Problem nicht und macht es nicht sehr viel einfacher.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 05.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ja das stimmt wohl! Danke für die Korrektur! Da wars wohl gestern shcon spät
Grüße
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