Koerzivität zeigen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:52 Di 22.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] $F(u)=\int\limits_0^1 (1-u'(x)^2)^2+u(x)^2\, [/mm] dx$ mit [mm] $u\in W^{1,4}(0,1)$
[/mm]
koerziv ist.
Verwenden Sie dazu die Young-Ungleichung
[mm] $2ab\leq \varepsilon a^2+\frac{b^2}{\varepsilon}~\forall~a,b,\varepsilon [/mm] > 0$. |
Also was ich zeigen muss, ist meines Wissens Folgendes:
Es gelte
[mm] $\lVert u_n\rVert_{L^4}+\lVert u_n'\rVert_{L^4}=\lVert u_n\rVert_{W^{1,4}}\to\infty$.
[/mm]
Zeige [mm] $F(u_n)\to\infty$.
[/mm]
Ich habe erstmal [mm] $F(u_n)$ [/mm] ausgeschrieben:
[mm] $F(u_n)=\int\limits_0^1 (1-u_n'(x)^2)^2+u_n(x)^2\, dx=\int\limits_0^1 1-2u_n'(x)^2+u_n'(x)^4+u_n(x)^2\, [/mm] dx$
Wie sieht man jetzt, daß dieses Integral gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht und wie benutze ich zu diesem Nachweis die obige Ungleichung von Young?
Leider sehe ich's nicht.
Viele Grüße
mikexx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 So 27.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]F(u)=\int\limits_0^1 (1-u'(x)^2)^2+u(x)^2\, dx[/mm] mit [mm]u\in W^{1,4}(0,1)[/mm]
>
> koerziv ist.
>
> Verwenden Sie dazu die Young-Ungleichung
>
> [mm]2ab\leq \varepsilon a^2+\frac{b^2}{\varepsilon}~\forall~a,b,\varepsilon > 0[/mm].
>
>
> Also was ich zeigen muss, ist meines Wissens Folgendes:
>
> Es gelte
>
> [mm]\lVert u_n\rVert_{L^4}+\lVert u_n'\rVert_{L^4}=\lVert u_n\rVert_{W^{1,4}}\to\infty[/mm].
>
> Zeige [mm]F(u_n)\to\infty[/mm].
>
>
> Ich habe erstmal [mm]F(u_n)[/mm] ausgeschrieben:
>
> [mm]F(u_n)=\int\limits_0^1 (1-u_n'(x)^2)^2+u_n(x)^2\, dx=\int\limits_0^1 1-2u_n'(x)^2+u_n'(x)^4+u_n(x)^2\, dx[/mm]
>
> Wie sieht man jetzt, daß dieses Integral gegen [mm]\infty[/mm] geht
> und wie benutze ich zu diesem Nachweis die obige
> Ungleichung von Young?
>
>
> Leider sehe ich's nicht.
einfach mal ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!) mitlesen! (Ob das
nun ein Crossposting von Dir ist, weiß ich (noch) nicht...)
Gruß,
Marcel
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