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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Mo 02.11.2009 | | Autor: | deadlift |
Hallo allerseits,
ich hatte heute bei einem Turnier in der Gruppenphase noch gewusst, dass sich die Anzahl der Spiele bei n Teilnehmern nach folgender Regel bestimmen lässt: f(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] i , [mm] n\in\IN
[/mm]
Ein Mitspieler kennt folgende Rechenvorschrift: f(n) = [mm] \bruch{n}{2}*(n-1)
[/mm]
Als ich ihm meine Methode gezeigt habe, war er zuerst überrascht udn hat mich gefragt, ob ich den Zusammenhang beider Formeln aufzeigen kann. Aber da musste ich leider passen :(. Wie kann man zeigen, dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] i = [mm] \bruch{n}{2}*(n-1) [/mm] , [mm] n\in\IN
[/mm]
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> Hallo allerseits,
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> ich hatte heute bei einem Turnier in der Gruppenphase noch
> gewusst, dass sich die Anzahl der Spiele bei n Teilnehmern
> nach folgender Regel bestimmen lässt: f(n) =
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}[/mm] i , [mm]n\in\IN[/mm]
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> Ein Mitspieler kennt folgende Rechenvorschrift: f(n) =
> [mm]\bruch{n}{2}*(n-1)[/mm]
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> Als ich ihm meine Methode gezeigt habe, war er zuerst
> überrascht udn hat mich gefragt, ob ich den Zusammenhang
> beider Formeln aufzeigen kann. Aber da musste ich leider
> passen :(. Wie kann man zeigen, dass gilt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}[/mm] i = [mm]\bruch{n}{2}*(n-1)[/mm] , [mm]n\in\IN[/mm]
Eine bekannte Methode dafür ist der Beweis nach
der Methode der vollständigen Induktion. Dabei
zeigt man
1.) Die vermutete Formel trifft für n=1 zu
2.) Falls die Formel für eine gewisse Zahl [mm] n\in\IN
[/mm]
zutrifft, dann gilt sie auch für die nächstfolgende
natürliche Zahl n+1
Bei deinem Beispiel liefern beide Formeln im Fall n=1
das Resultat Null (die Summe wird mangels Summanden
gleich Null).
Für den "Schritt von n zu (n+1)" kannst du dir klar
machen, wie viele zusätzliche Spiele nötig sind, wenn
unter den bisherigen n Teilnehmern schon alle Spiele
gespielt sind und der neue Spieler (Nummer n+1)
dazu kommt. Addiere diese Anzahl Spiele zu der der
schon gespielten und überprüfe, ob dabei wirklich
die Anzahl herauskommt, welche die vermutete
Formel für (n+1) anstelle von n liefern würde.
LG Al-Chwarizmi
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