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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 12.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Ich hab eine Frage:
Man soll zeigen, dass eine Matrix [mm] A\in K^{n\times n} [/mm] genau dann mit allen Matrizen [mm] B\in K^{n\times n} [/mm] kommutiert, d.h. AB= BA, falls A eine skalare Matrix ist (d.h. ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix).
Mir ist das völlig klar, denn die Einheitsmatrix von rechts sowie von links mit einer beliebigen Matrix gleichen Formats ergibt ja wieder die Ursprüngliche und ein Skalar ändert da auch nichts;
doch wie zeig ich das formal?
Hat da jemand eine Idee für mich?
Danke schon mal,
Nilez
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 So 12.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Nilez!
> Ich hab eine Frage:
> Man soll zeigen, dass eine Matrix [mm]A\in K^{n\times n}[/mm] genau
> dann mit allen Matrizen [mm]B\in K^{n\times n}[/mm] kommutiert, d.h.
> AB= BA, falls A eine skalare Matrix ist (d.h. ein skalares
> Vielfaches der Einheitsmatrix).
> Mir ist das völlig klar, denn die Einheitsmatrix von
> rechts sowie von links mit einer beliebigen Matrix gleichen
> Formats ergibt ja wieder die Ursprüngliche und ein Skalar
> ändert da auch nichts;
> doch wie zeig ich das formal?
> Hat da jemand eine Idee für mich?
Vielleicht geht's so:
sei [mm] A=\lambda [/mm] E
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] AB=\lambda [/mm] E B = [mm] \lambda [/mm] B E = [mm] B\lambda [/mm] E = BA
Aber ich bin mir nicht sicher, ob das reicht, und das wäre wenn auch wohl nur der halbe Beweis.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:35 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Jerry77 |
Hallo,
hier ein paar Hinweise :
"genau dann wenn" , also zeigen wir genaugenommen:
A ist skalare Matrix ==> AB=BA
durch
A = k*I ==> AB= k*IB=k*BI= B*k*I =BA
und die Rückrichtung
AB=BA ==> A=k*I
durch
tapferes Ausrechnen (sollte klappen - habs nicht probiert)
man bekommt für die 9 Eintraege der Matrix A, 9 Gleichungen ( eine je Komponente )
viel Spass ;) !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Di 14.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Nilez!
Du findest den Beweis hier (Aufgabe 34). Es spielt keine Rolle, dass dort nur invertierbare Matrizen betrachtet werden. Der Beweis geht völlig analog auch für beliebige Matrizen.
Viel Spaß dabei! 
Viele Grüße
Julius
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