Kommutativität < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 15.01.2012 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | Also soweit hätte ich ganz streng axiomatisch (a+b)+c = a+(b+c) (Assoziativität) und a+b = b+a (Kommutativität)
Quelle: http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=316&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dmultiplikation%2520assoziativgesetz%2520beweis%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CB8QFjAA |
Was ich da noch gerne hätte. Wie kann ich mir direkt schlüssig zeigen, dass ich bei bel. langen Termen mit bel. vielen Summanden, rumdrehen kann, wie ich mag?
a+b+c+d+e = c+d+e+a+b etc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst nur endlich viele zweier Vertauschungen um zum Ziel zu kommen. dass sie existieren reicht, man muss sie ja nicht alle angeben.
etwa hier nur eine allgmein mehr
a+b+c+d+e = c+d+e+a+b entstanden aus (a+b)+(c+d+e)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 15.01.2012 | | Autor: | msg08 |
Nee,
also das Ganze echt streng genommen.
a+b+c+d+e = ((((a+b)+c)+d)+e) und nun müsste man ja mittels Linksassoziativität, je 2 Summanden betrachtend und dem Assoziativitgesetz s (a+b)+c = a+(b+c) irgendwie gut klammern und eben innerhalb einzelner Klammern, je 2 Summanden, kommutieren, also a+b = b+a anwenden, um zu allen möglichen Reihenfolgen zu kommen.
Sprich (1) (a+b)+c = (2) (b+a)+c = b+(a+c) = (3) b+(c+a) = (4) (c+a)+b = (5) (a+c)+b = b+(a+c) = b+(c+a) = (b+c)+a = (6) (c+b)+a
Also an sowas hab ich da eigentlich eher gedacht. Nur eben systematisch und ausgeweitet auf bel. viele Summanden. Also wenn ich allgemein für einen Term zeigen kann, ich kann kommutieren, wie ich mag. Gehe ich ja bereits von bel. Klammerungen aus. Also Linksassoziativität muss gar nicht vorausgesetzt werden? Also dachte, wenn man es eben sehr streng macht, dann doch schon? Naja, keine Ahnung, also das wär eigentlich richtig schön mit so einer methodischen Induktion?
edit: Klammerung geändert, umformuliert
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Hallo,
> Nee,
wieso nee ? leduart hat doch vollkommen recht ?!
>
> also das Ganze echt streng genommen.
>
> a+b+c+d+e = ((((a+b)+c)+d)+e) und nun müsste man ja
> mittels Linksassoziativität, je 2 Summanden betrachtend
> und dem Assoziativitgesetz s (a+b)+c = a+(b+c) irgendwie
> gut klammern und eben innerhalb einzelner Klammern, je 2
> Summanden, kommutieren, also a+b = b+a anwenden, um zu
> allen möglichen Reihenfolgen zu kommen.
>
> Sprich (1) (a+b)+c = (2) (b+a)+c = b+(a+c) = (3) b+(c+a) =
> (4) (c+a)+b = (5) (a+c)+b = b+(a+c) = b+(c+a) = (b+c)+a =
> (6) (c+b)+a
>
> Also an sowas hab ich da eigentlich eher gedacht. Nur eben
> systematisch und ausgeweitet auf bel. viele Summanden. Also
> wenn ich allgemein für einen Term zeigen kann, ich kann
> kommutieren, wie ich mag. Gehe ich ja bereits von bel.
> Klammerungen aus. Also Linksassoziativität muss gar nicht
> vorausgesetzt werden? Also dachte, wenn man es eben sehr
> streng macht, dann doch schon? Naja, keine Ahnung, also das
> wär eigentlich richtig schön mit so einer methodischen
> Induktion?
wofür brauchst du das ganze denn? musst du beweisen, dass es für endlich lange terme funktioniert ?
würde leduarts variante verwenden. kannst dir ja daraus einen "algorithmus" basteln ;)
>
> edit: Klammerung geändert, umformuliert
>
LG Scherkrapferl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | msg08 |
In dem von mir angegebenen Link wird die Addition axiomatisch eingeführt. Die Kommutativität wie auch Aussoziativität bekommt man eben durch a+b = b+a und (a+b)+c = a+(b+c) und daraus leitet sich in meinen Augen direkt die Möglichkeit ab, die Summanden so zu verdrehen wie man mag.
Soweit ist das aber noch nicht ganz sauber. Also möglicherweise seh ich es einfach nicht ganz richtig. Mal anders. Warum darf ich eigentlich direkt aus (a+b)+c = a+(b+c) schliessen, dass gilt: (a+b)+c+d = a+(b+c)+d = a+b+(c+d).
Da ich soweit erst nur den Beweis für 3 Elemente habe, muss ich die Summanden erstmal gruppieren und zu 2er-Pärchen umformen. So dass ich in Klammern mit einer 2 Elemente umschliessenden Klammer und einem einzeln stehenden Element mein soweit für die Asso bewiesenes anwenden kann.
a+b+c+d = (((a+b)+c)+d) und nun eben:
(((a+b)+c)+d) = ((a+(b+c))+d) = a+(b+c)+d ...
Von links nach rechts wäre soweit für Addition gegeben. Sprich Linksassoziativität. Wobei wenn rechts von links eine Klammer steht, hat die Vorrang und durch so ein Durchspielen kriegte ich damit ja alle nebeneinanderstehenden Elemente eben irgendwie gruppiert.
Die Kommutativität würde ja daraus folgern. Wenn man soweit alle nebeneinanderstehenden Elemente bel. klammern kann, kann man diese pärchenweise kommutieren.
Glaube, die Assoziativität dann wohl irgendwie schön zeigen. Weiss wer was. Bei der Kommutivität für eben bereits bel. klammerbare Terme würde jede mögliche Reihenfolge folgen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> In dem von mir angegebenen Link wird die Addition
> axiomatisch eingeführt. Die Kommutativität wie auch
> Aussoziativität bekommt man eben durch a+b = b+a und
> (a+b)+c = a+(b+c) und daraus leitet sich in meinen Augen
> direkt die Möglichkeit ab, die Summanden so zu verdrehen
> wie man mag.
>
> Soweit ist das aber noch nicht ganz sauber. Also
> möglicherweise seh ich es einfach nicht ganz richtig. Mal
> anders. Warum darf ich eigentlich direkt aus (a+b)+c =
> a+(b+c) schliessen, dass gilt: (a+b)+c+d = a+(b+c)+d =
> a+b+(c+d).
Es ist doch $(a + b) + c + d = ((a + b) + c) + d = (a + (b + c)) + d = a + (b + c) + d = a + ((b + c) + d) = a + (b + (c + d)) = a + b + (c + d)$.
> Da ich soweit erst nur den Beweis für 3 Elemente habe,
> muss ich die Summanden erstmal gruppieren und zu
> 2er-Pärchen umformen. So dass ich in Klammern mit einer 2
> Elemente umschliessenden Klammer und einem einzeln
> stehenden Element mein soweit für die Asso bewiesenes
> anwenden kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> a+b+c+d = (((a+b)+c)+d) und nun eben:
>
> (((a+b)+c)+d) = ((a+(b+c))+d) = a+(b+c)+d ...
>
> Von links nach rechts wäre soweit für Addition gegeben.
> Sprich Linksassoziativität. Wobei wenn rechts von links
> eine Klammer steht, hat die Vorrang und durch so ein
> Durchspielen kriegte ich damit ja alle
> nebeneinanderstehenden Elemente eben irgendwie gruppiert.
Um das sauber aufzuschreiben brauchst du ![[]](/images/popup.gif) strukturelle Induktion.
> Die Kommutativität würde ja daraus folgern. Wenn man
> soweit alle nebeneinanderstehenden Elemente bel. klammern
> kann, kann man diese pärchenweise kommutieren.
Ja, wenn man gruppentheoretische Eigenschaften von [mm] $S_n$ [/mm] verwendet.
> Glaube, die Assoziativität dann wohl irgendwie schön
> zeigen. Weiss wer was.
Willst du damit fragen, ob wer weiss, wie man das mit der Assoziativitaet sauber macht? In dem Fall: strukturelle Induktion. Andernfalls habe ich deine Frage nicht verstanden...
> Bei der Kommutivität für eben
> bereits bel. klammerbare Terme würde jede mögliche
> Reihenfolge folgen.
Was willst du jetzt zeigen? Assoziativitaet oder Kommutativitaet?
Wenn du die Assoziativitaet hast, kannst du die Kommutativitaet zeigen. Dazu verwendest du am besten, dass die Gruppe [mm] $S_n$ [/mm] von Transpositionen zweier benachbarter Elemente erzeugt wird. Damit kannst du das ganze sehr schnell zeigen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:46 Mo 16.01.2012 | | Autor: | msg08 |
Strukturelle Induktion klingt soweit schon mal vielversprechend. Nur, wie mach ich das jetzt?
Bewiesen werden soll, dass jede Addition aus endlich vielen Summanden bel. geklammert werden kann? Oder runtergebrochen, in einer Addition mit bel. vielen Summanden, lassen sich alle benachbarten Summanden klammern?
a+b+c+d+e = (a+b)+c+d+e = a+(b+c)+d+e = a+b+(c+d)+e = a+b+c+(d+e)
In der Induktionsvoraussetzung halte ich fest, was ich weiss, also die Assoziativität für 3 Elemente ja? Sprich, (a+b)+c = a+(b+c) und nichts mehr.
Im Induktionsschritt müsste ich das ja auf endliche Terme bel. vieler Summanden übertragen?
Sei a+...+z und was macht man da jetzt?
Also in die Induktionsvoraussetzung müsste man doch auch noch die Linksassoziativität hineinnehmen gell und eben das Wissen von, wenn rechts von links ein Pärchen von Summanden geklammert wird, würde das quasi einzeln geklammert sein. Sowas halt (a+(b+(c+d))) = a+(b+(c+d)).
Naja gut, aber wie baut man es geschickt oder überhaupt richtig laut struktureller Induktion?
edit: umgeklammert, +e
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Strukturelle Induktion klingt soweit schon mal
> vielversprechend. Nur, wie mach ich das jetzt?
vielleicht war das doch nicht die beste Idee 
Moeglicherweise ist es am besten, direkt mit Syntaxbaeumen zu arbeiten.
Du kannst dir ja jeden Ausdruck [mm] $a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n$ [/mm] vorstellen als einen binaeren Baum, dessen Blaetter gerade [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] sind (von links nach rechts). Jeder Knoten entspricht einer Addition, und du kannst jedem Knoten einen Wert zuweisen. Der Wert der Wurzel des Baumes ist der Wert des zugehoerigen geklammerten Ausdrucks.
Was du jetzt zeigen willst: alle solchen Baeume zu [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] haben den gleichen Wert.
Dies kannst du zeigen, indem du jeden Baum in endlich vielen Transformationen, die den Wert jeweils nicht aendern, zu einem festen Baum transformierst (etwa dem, der der Klammerung [mm] $((\cdots((a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] + [mm] a_3) [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{n-2}) [/mm] + [mm] a_{n-1}) [/mm] + [mm] a_n$ [/mm] entspricht).
Das Assoziativgesetz sagt gerade, dass folgende Transformation:
| 1: |
| | 2: | * *
| | 3: | / \ / \
| | 4: | A * ----> * C
| | 5: | / \ / \
| | 6: | B C A B
|
(wobei $A$, $B$ und $C$ wieder Teilbaeume sind) den Wert von dem oberen Knoten [mm] $\ast$ [/mm] nicht aendern.
Du musst also zeigen, dass man mit solchen Transformationen jeden beliebigen Baum in einen Baum (in endlich vielen Schritten) ueberfuehren kann, der eine bestimmte Form hat (jedes rechte Kind ist ein Blatt).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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