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| Aufgabe | Seien f,g : [mm] \IR [/mm] ^{2} --> [mm] \IR [/mm] zwei stetige Funktionen und
L = {(x,y) [mm] \in [0,1]^{2} [/mm] ; g(x,y) = f(x,y) ^{2}} |
Bei dieser Aufgabe soll entschieden werden, ob die Menge abgeschlossen oder kompakt ist. Ich würde das gerne so machen, dass ich eine Funktion definiere, als einer kompakten Menge, nämlich hier [mm] [0,1]^{2} [/mm] und dann zeige, dass die Funktion stetig ist... ich weiß nur nicht, wie ich das hier am besten mache... weil ja g(x,y) - f(x,y) ^{2} = 0 für alle (x,y) der Menge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien f,g : [mm]\IR[/mm] ^{2} --> [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zwei stetige Funktionen und
> L = {(x,y) [mm]\in [0,1]^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
; g(x,y) = f(x,y) ^{2}}
> Bei dieser Aufgabe soll entschieden werden, ob die Menge
> abgeschlossen oder kompakt ist. Ich würde das gerne so
> machen, dass ich eine Funktion definiere, als einer
> kompakten Menge, nämlich hier [mm][0,1]^{2}[/mm] und dann zeige,
> dass die Funktion stetig ist... ich weiß nur nicht, wie
> ich das hier am besten mache... weil ja g(x,y) - f(x,y)
> ^{2} = 0 für alle (x,y) der Menge.
Schreibe $h(x, y) := g(x, y) - f(x, [mm] y)^2$. [/mm] Dann ist $L = [mm] \{ (x, y) \in [0, 1]^2 \mid h(x, y) = 0 \}$, [/mm] und [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] ist abgeschlossen und $h$ stetig. Kannst du jetzt was ueber $L$ aussagen? Zumindest ob es abgeschlossen ist? (Wie ist das mit Urbildern abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen?)
LG Felix
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