Kompakte Menge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 18.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei die kompakte Menge [mm] K=\{(x,y)\in R^2 | -1\le x\le1,abs(x)\le y\le1\}
[/mm]
a) Skizzieren Sie K |
| Aufgabe 2 | b) Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{K} [/mm] {x^2y dxdy}
indem Sie:
i) zuerst nach y und dann nach x integrieren,
ii) zuerst nach x und dann nach y integrieren. |
| Aufgabe 3 | | c) Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{K} {e^{-y^2} dxdy} [/mm] indem Sie eine geeignete Integrationsreihenfolge wählen. |
a) Da weiß ich gar nich wie ich vorzugehen habe.
b.i)zuerst nach y, dann nach x integrieren:
[mm] $\integral_{K} [/mm] {x^2y [mm] dxdy}=\integral_{K} [/mm] {1/2 [mm] x^2y^2 [/mm] dx}=1/2 1/3 [mm] x^2y^2 [/mm] $
wie das mit dem K da jetzt genau weiter geht weiß ich leider auch nicht
b.ii)genau das gleiche ergebnis wie in b.i)
c)da das integral [mm] $\integral_{K} {e^{-y^2} dxdy}$ [/mm] erstmal nach y integrieren:
[mm] $\integral_{K} {e^{-y^2} dydx}=-1/3y^3 e^{(-y^2)}$
[/mm]
jetzt nach x: [mm] $\integral_{K} {-1/3y^3 e^{(-y^2)} dx}= -1/3*e^{(-y^2)}*y^3+c$
[/mm]
Ich danke euch fürs Berichtigen und Ideen!
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> Gegeben sei die kompakte Menge [mm]K=\{(x,y)\in R^2 | -1\le x\le1,abs(x)\le y\le1\}[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie K
>
> b) Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{K}[/mm] {x^2y dxdy}
> indem Sie:
> i) zuerst nach y und dann nach x integrieren,
> ii) zuerst nach x und dann nach y integrieren.
>
> c) Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{K} {e^{-y^2} dxdy}[/mm]
> indem Sie eine geeignete Integrationsreihenfolge wählen.
>
> a) Da weiß ich gar nich wie ich vorzugehen habe.
Hm, man zeichnet eine solche Menge immer, indem man getrennt sich die jeweiligen Bereiche vornimmt .Also da wir eine Menge in [mm] \IR^2 [/mm] haben, wäre es doch sinnvoll, ein kartesisches Koordinatensystem zu malen und schonmal bei x=-1 und x=1 senkrechte Striche zu ziehen. Dazwischen muss ja K liegen, oder? Jetzt heißt es für y: $|x| [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$ Also kannst du schonmal eine waagrechte Linie bei y=1 ziehen, das ist die Obergrenze von K. Wo liegt die Untergrenze? Du solltest K eigentlich sehr leicht zeichnen können. Das ist halt leider eine Denk- und Malaufgabe und keine Rechenaufgabe ;)
> b.i)zuerst nach y, dann nach x integrieren:
> [mm]\integral_{K} {x^2y dxdy}=\integral_{K} {1/2 x^2y^2 dx}=1/2 1/3 x^2y^2[/mm]
>
> wie das mit dem K da jetzt genau weiter geht weiß ich
> leider auch nicht
Ich würde vorschlagen, du schaust dir noch einmal die Definition eines Flächenintegrals und den Satz von Fubini an. Die Integrationsreihenfolge ist nur vertauschbar, wenn der zu integrierende Bereich ein Rechteck ist, also vom Typ x,y [mm] \in [/mm] I mit I=[a,b]x[c,d], sprich z.B: -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1. Dann darfst du dxdy zu dydx machen, sprich die Integrationsreihenfolge tauschen. Sobald du kartesische Normalebereiche (hier Typ 1) vorliegen hast, musst du bei einer Änderung der Integrationsreihenfolge die Ober- und Untergrenzen der Integrale [mm] $\green{neu \ berechnen}$!.
[/mm]
Also wenn du K einmal skizziert hast, wird es für die Integration sinnvoll sein, K in zwei Normalbereiche vom Typ I aufzusplitten, wegen der Betragsfunktion, und zwar so dass -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 und 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
Generell solltest du aber wirklich wissen, dass ein Flächenintegral
[mm] $\integral [/mm] f(x,y)dA = [mm] \integral \integral [/mm] f(x,y) dxdy$ ist, also die nacheinander ausgeführte Integration in zwei Richtungen.
Entscheiden wir uns jetzt dafür, zuerst nach y und dann nach x zu integrieren, weil wir Normalbereiche vom Typ I betrachten, wo x fest aus einem Intervall ist und y von zwei Funktionen [mm] y_u(x) [/mm] und [mm] y_o(x) [/mm] begrenzt wird, so integriert man immer von innen nach außen mit der inneren Integration nach der Variable, die abhängig ist, also hier y:
[mm] $\integral_K [/mm] f(x,y) dA = [mm] \integral_{-1}^0 \integral_{-x}^1 [/mm] x^2y [mm] \green{dy}\red{dx} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] $
Das ist jetzt nur der linke Teil von K von -1 bis 0. Dort ist der Bereich nach unten durch |x| begrenzt, was ja für den rein negativen Teil gerade die Winkelhalbierende im 2. Quadranten ist, also -x. Daher ist die untere Grenze für y -x und die obere nach wie vor 1. Jetzt solltest du den zweiten Teil des Integrals als zweite Summe dazusetzen können, also den Teil von x=0 bis x=1 und der Untergrenze [mm] y_u(x)=x
[/mm]
> b.ii)genau das gleiche ergebnis wie in b.i)
Das ist jetzt die Frage. An sich nicht, weil K kein Rechteck ist, also musst du die Grenzen neu bestimmen. Jetzt haben wir einen Typ 2, weil y fest zwischen [0,1] ist und x variabel von y abhängt. Das erkennt man daran, dass man zuerst nach x integrieren soll und die innere Integration ist die nach der abhängigen Größe. Demzufolge müssen wir x durch zwei Funktionen mit y ausdrücken. Das geht ganz analog zu meinem obigen Beispiel und sollte dir nicht schwerfallen. Also das Ergebnis mag natürlich das gleiche sein, aber die Schritte nicht! Und du integrierst auch anders! Du setzt ja jetzt andere Werte ein.
> c)da das integral [mm]\integral_{K} {e^{-y^2} dxdy}[/mm] erstmal
> nach y integrieren:
> [mm]\integral_{K} {e^{-y^2} dydx}=-1/3y^3 e^{(-y^2)}[/mm]
> jetzt
aua...ist dir noch nie aufgefallen, dass [mm] e^{x^2} [/mm] kein Integral besitzt? Leite mal deine Stammfunktion ab und sag mir, ob [mm] e^{-y^2} [/mm] dabei herauskommt, wenn ja, erhälst du einen Nobelpreis ;). Mit anderen Worten: Der Sinn der AUfgbae ist es, zu erkennen, dass man genau deshalb zuerst nach x integrieren muss. Die Grenzen sind wie bei meinem Beispiel unter b) ii) entsprechend zu wählen bzw. anzupassen.
> nach x: [mm]\integral_{K} {-1/3y^3 e^{(-y^2)} dx}= -1/3*e^{(-y^2)}*y^3+c[/mm]
>
> Ich danke euch fürs Berichtigen und Ideen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 18.09.2011 | | Autor: | frank85 |
a) so, ich habe die Menge gezeichnet. von -1 bis 1 auf der x achse und obergrenze y ist bei y=1, untergrenze ist die funktion |x|, also umgedrehtes dreieck von 0,0 nach -1,1 und 1,1.
b) jetzt kann ich integrieren: [mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}
[/mm]
hast du dich da vertan beim ersten Summanden? muss es nicht so aussehen: [mm] \integral_{-1}^{\red{0}}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}
[/mm]
= 2/10, das habe ich am ende herausbekommen. stimmt das?
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> a) so, ich habe die Menge gezeichnet. von -1 bis 1 auf der
> x achse und obergrenze y ist bei y=1, untergrenze ist die
> funktion |x|, also umgedrehtes dreieck von 0,0 nach -1,1
> und 1,1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau es ist einfach ein Dreieck mit SPitze in (0,0).
> b) jetzt kann ich integrieren:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}[/mm]
>
> hast du dich da vertan beim ersten Summanden? muss es nicht
> so aussehen:
> [mm]\integral_{-1}^{\red{0}}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}[/mm]
>
Sehr gut aufgepasst, ich wollte dich natürlich testen *hust*. Nein danke, ist von mir bereits korrigiert, natürlich muss es bon -1 bis 0 und dann von 0 bis 1 gehen. Integrale sind von dir korrekt aufgestellt.
> = 2/10, das habe ich am ende herausbekommen. stimmt das?
ich komme allerdings auf 2/15 eventuell Vorzeichenfehler, das war nicht so einfach, weil das erste Integral durch die 0, -1 noch ein Minuszeichen davor hat. Sprich ein Teilintegral sollte 1/15 liefern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 19.09.2011 | | Autor: | frank85 |
[mm] \Rightarrow\integral_{-1}^{{0}}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{{0}}{\bruch{1}{2}y^2x^2|_{-x}^{1} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}y^2x^2|_{x}^{1} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{{0}}{\bruch{1}{2}x^2 +\bruch{1}{2}x^4 dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}x^2 -\bruch{1}{2}x^4 dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{-1}^{{0}}{x^2 dx}+\bruch{1}{2}\integral_{-1}^{{0}}{x^4 dx}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{x^2 dx} -\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{x^4 dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6}x^3 |_{-1}^{0}+ \bruch{1}{10} x^5|_{-1}^{0} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}x^3|_{0}^{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10} x^5|_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{6}+\bruch{1}{10}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{10}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{6}
[/mm]
stimmts jetzt? vielen dank nochmal :)
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Hallo frank85,
> [mm]\Rightarrow\integral_{-1}^{{0}}{\integral_{-x}^{1}{yx^2 dydx}}+\integral_{0}^{1}{\integral_{x}^{1}{yx^2 dydx}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-1}^{{0}}{\bruch{1}{2}y^2x^2|_{-x}^{1} dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}y^2x^2|_{x}^{1} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-1}^{{0}}{\bruch{1}{2}x^2 +\bruch{1}{2}x^4 dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}x^2 -\bruch{1}{2}x^4 dx}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]=\integral_{-1}^{{0}}{\bruch{1}{2}x^2 \red{-}\bruch{1}{2}x^4 dx}+\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}x^2 -\bruch{1}{2}x^4 dx}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}\integral_{-1}^{{0}}{x^2 dx}+\bruch{1}{2}\integral_{-1}^{{0}}{x^4 dx}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{x^2 dx} -\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{x^4 dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}x^3 |_{-1}^{0}+ \bruch{1}{10} x^5|_{-1}^{0}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}x^3|_{0}^{1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{10} x^5|_{0}^{1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{6}+\bruch{1}{10}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{10}[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{6}[/mm]
> stimmts jetzt? vielen dank nochmal :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mo 19.09.2011 | | Autor: | frank85 |
ne also ich komme nicht aufs ergebniss. 2/15 stimmt, habe es von wolframalpha ausrechnen lassen, aber per hand komme ich nicht darauf. kein bock mehr auf fehlersuche....
vielen dank dir :)
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[mm] $\integral_{-1}^{0} \integral_{-x}^{1}{x^2y dy dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{x}^{1}{x^2y dy dx}= \integral_{-1}^{0} {[\bruch{1}{2}x^2y^2]_{-x}^1 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1} {[\bruch{1}{2}x^2y^2]_{x}^1 dx } [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0} {\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^4 dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1} {\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^4] dx } [/mm] = [mm] [\bruch{1}{6}x^3-\bruch{1}{10}x^5]_{-1}^0+ [\bruch{1}{6}x^3-\bruch{1}{10}x^5]_{0}^1 [/mm] = -( [mm] -\bruch{1}{6}+\bruch{1}{10})+ \bruch{1}{6}-\bruch{1}{10}=\bruch{2}{15}$
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:34 So 18.09.2011 | | Autor: | SEcki |
> > b.i)zuerst nach y, dann nach x integrieren:
> > [mm]\integral_{K} {x^2y dxdy}=\integral_{K} {1/2 x^2y^2 dx}=1/2 1/3 x^2y^2[/mm]
>
> >
> > wie das mit dem K da jetzt genau weiter geht weiß ich
> > leider auch nicht
>
> Ich würde vorschlagen, du schaust dir noch einmal die
> Definition eines Flächenintegrals und den Satz von Fubini
> an.
Dito!
> Die Integrationsreihenfolge ist nur vertauschbar, wenn
> der zu integrierende Bereich ein Rechteck ist, also vom Typ
> x,y [mm]\in[/mm] I mit I=[a,b]x[c,d], sprich z.B: -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und
> -1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1.
Nein - Fubini redet von Produktraeumen ganz allgemein (oder redest du nur von Riemann-Integralen?). Man kann obiges auch schnell ins Rechteck mittels der charakteristischen Funktion von K machen, also zB auf den Einheistwuerfel als Produktraum, dann mittels charakteristischer Funktion einschraenken.
> Dann darfst du dxdy zu dydx machen, sprich
> die Integrationsreihenfolge tauschen.
Nope.
> Sobald du kartesische
> Normalebereiche (hier Typ 1) vorliegen hast, musst du die
> Ober- und Untergrenzen der Integrale tauschen!.
Bitte was?
> Also wenn du K einmal skizziert hast, wird es für die
> Integration sinnvoll sein, K in zwei Normalbereiche vom Typ
> I aufzusplitten, wegen der Betragsfunktion, und zwar so
> dass -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0 und 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1.
>
> Generell solltest du aber wirklich wissen, dass ein
> Flächenintegral
>
> [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] ist,
> also die nacheinander ausgeführte Integration in zwei
> Richtungen.
Das ist falsch - wann und wie das geht klaert Fubini.
> Das geht ganz analog zu meinem obigen Beispiel
> und sollte dir nicht schwerfallen. Also das Ergebnis mag
> natürlich das gleiche sein, aber die Schritte nicht! Und
> du integrierst auch anders! Du setzt ja jetzt andere Werte
> ein.
Das Ergenis wird vor allem wegen Fubini (!) gleich sein, allerdings ist das wohl nicht Ziel der Uebung.
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:04 So 18.09.2011 | | Autor: | Adamantin |
> > > b.i)zuerst nach y, dann nach x integrieren:
> > > [mm]\integral_{K} {x^2y dxdy}=\integral_{K} {1/2 x^2y^2 dx}=1/2 1/3 x^2y^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > wie das mit dem K da jetzt genau weiter geht weiß ich
> > > leider auch nicht
> >
> > Ich würde vorschlagen, du schaust dir noch einmal die
> > Definition eines Flächenintegrals und den Satz von Fubini
> > an.
>
> Dito!
>
> > Die Integrationsreihenfolge ist nur vertauschbar, wenn
> > der zu integrierende Bereich ein Rechteck ist, also vom Typ
> > x,y [mm]\in[/mm] I mit I=[a,b]x[c,d], sprich z.B: -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und
> > -1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1.
>
> Nein - Fubini redet von Produktraeumen ganz allgemein (oder
> redest du nur von Riemann-Integralen?). Man kann obiges
> auch schnell ins Rechteck mittels der charakteristischen
> Funktion von K machen, also zB auf den Einheistwuerfel als
> Produktraum, dann mittels charakteristischer Funktion
> einschraenken.
Ich rede von Riemann-Integralen aber leider sind mir deine restlichen Ausführungen nicht geläufig, daher hier die Definition aus meiner Vorlesung:
Satz 1.3
Sei [mm] $f:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR$ [/mm] stetig auf $[a,b]x[c,d] [mm] \subseteq [/mm] D(f) [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] und [mm] $F(x)=\integral_c^d [/mm] f(x,y)dy$. Dann gilt:
i) [mm] \integral_a^b [/mm] F(x)dx = [mm] \integral_a^b \integral_c^d [/mm] f(x,y) dy dx = [mm] \integral_c^d \integral_a^b [/mm] f(x,y) dx dy$.
ii) sagt nur etwas über die Ableitung, brauchen wir hier nicht.
Ich kann nur von meinem Kenntnisstand ausgehen. Und ich ALLEn Übungen zu diesem Thema, sowie in meinem Skript sowie in Papula Band II wird explizit gesagt, dass man die Integrationsreihenfolge NUR verändern darf, wenn die Ober- und Untergrenzen konstant sind und damit das Intervall, über dem integriert wird, ein Rechteck ist! Wenn dies falsch ist, wusste ich es nicht. (Und verstehe es auch nicht)
>
> > Dann darfst du dxdy zu dydx machen, sprich
> > die Integrationsreihenfolge tauschen.
>
> Nope.
Nach meinem Kenntnisstand schon, auf jeden fall, wenn x [mm] \in [/mm] [a,b] und y [mm] \in [/mm] [c,d]
>
> > Sobald du kartesische
> > Normalebereiche (hier Typ 1) vorliegen hast, musst du die
> > Ober- und Untergrenzen der Integrale tauschen!.
>
> Bitte was?
Damit meinte ich wohl: Wenn Normalbereiche vorliegen, so dass wir eine der Integrationsvariablen abhängig von einer weiteren Größe haben, eben bei Typ 1 y in Abhängigkeit von x, so darf man die Integrationsreigenfolge nicht einfach tauschen und dabei die Grenzen beibehalten! Nur darum geht es. Natürlich darf man die generell tauschen, muss aber die Grenzen anpassen. Vielleicht warst du deshalb so "verstört"?
Also Die Integrationsreihenfolge allg. darf man natürlich tauschen, aber man muss die Grenzen neu bestimmen. Er darf in seinem Beispiel in b) i) nicht einfach zuerst nach dx und dann nach dy integrieren und die Grenzen für dx und dy übernehmen. Diese muss er neu berechnen/anpassen!
Die Grenzen dürfen nur mitvertauscht werden, wenn es eben ein Rechteck ist. Darum ging es mir.
>
> > Also wenn du K einmal skizziert hast, wird es für die
> > Integration sinnvoll sein, K in zwei Normalbereiche vom Typ
> > I aufzusplitten, wegen der Betragsfunktion, und zwar so
> > dass -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0 und 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1.
> >
> > Generell solltest du aber wirklich wissen, dass ein
> > Flächenintegral
> >
> > [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] ist,
> > also die nacheinander ausgeführte Integration in zwei
> > Richtungen.
>
> Das ist falsch - wann und wie das geht klaert Fubini.
Das ist definitiv richtig...Zudem hat es hier nichts mit Fubini zu tun, ich habe lediglich gezeigt, was ein Flächenintegral ist, er hat in seiner Aufgabe ein Integral über ein Gebiet K stehen und das ist ein Doppelintegral über x und y. Reihenfolge muss er sich selbst aussuchen und Grenzen entsprechend anpassen WEIL Normalbereich (so wie er es jedenfalls in der AUfgabe stehen hat).
>
> > Das geht ganz analog zu meinem obigen Beispiel
> > und sollte dir nicht schwerfallen. Also das Ergebnis mag
> > natürlich das gleiche sein, aber die Schritte nicht! Und
> > du integrierst auch anders! Du setzt ja jetzt andere Werte
> > ein.
>
> Das Ergenis wird vor allem wegen Fubini (!) gleich sein,
> allerdings ist das wohl nicht Ziel der Uebung.
Wie gesagt, nach obiger Definition aus meinem Skript hat Fubini hier keine Anwendung, wenn ich K so aufstelle, dass y abhängig von x ist. Dann muss ich bei b) i) und b) ii) jeweils die Grenzen neu bestimmen. So habe ich es gelernt und so war es bisher immer richtig. Wenn es anders geht, kein THema ich habe nur Mathe II und kein Mathe-Studium, ich kann also nicht alles wissen. Aber es würde mich sehr wundern, wenn es falsch wäre. Dass es vielleicht nicht die ganze Wahrheit ist, das ist völlig logisch und ich lerne gerne dazu.
>
> SEcki
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 23:38 So 18.09.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ich rede von Riemann-Integralen
Und diese wurden mittels iterativem Integrieren _definiert_?
> aber leider sind mir deine
> restlichen Ausführungen nicht geläufig,
Jedes Kompakta in der Flaeche passt in ein Rechteck - und die zu integrierende Funktion kann man durch 0 fortsetzen und hat das gleiche Integral. Also uebertragen sich sofort die Eigenschaften vom Rechteck - und mann kann daher auch x und y vertauschen. Die Grenzen im Integral kommen ja durch Rechnekniffe rein - man kann es immer durch charakteristische Funktionen umschreiben.
Variable Ober- und untergenzen muessen natuerlich angepasst werden, willst du darauf hinaus?
> daher hier die
> Definition aus meiner Vorlesung:
>
> Satz 1.3
Hier stimmt was nicht. Satz oder Definition?
>
> Sei [mm]f:\IR^2 -> \IR[/mm] stetig auf [mm][a,b]x[c,d] \subseteq D(f) \subseteq \IR^2[/mm]
> und [mm]F(x)=\integral_c^d f(x,y)dy[/mm]. Dann gilt:
> i) [mm]\integral_a^b[/mm] F(x)dx = [mm]\integral_a^b \integral_c^d[/mm]
> f(x,y) dy dx = [mm]\integral_c^d \integral_a^b[/mm] f(x,y) dx dy$.
> ii) sagt nur etwas über die Ableitung, brauchen wir hier
> nicht.
>
> Ich kann nur von meinem Kenntnisstand ausgehen. Und ich
> ALLEn Übungen zu diesem Thema, sowie in meinem Skript
> sowie in Papula Band II wird explizit gesagt, dass man die
> Integrationsreihenfolge NUR verändern darf, wenn die Ober-
> und Untergrenzen konstant sind und damit das Intervall,
> über dem integriert wird, ein Rechteck ist! Wenn dies
> falsch ist, wusste ich es nicht. (Und verstehe es auch
> nicht)
Das hoert sich alles nicht sehr sinnig an (Intervall ist ein Rechteck ...), aber wenn man die Integrationsgrenzen aendert, muss man alles entsprechend anpassen. Gut - das hat aber nichts damit zu tun, dass man die Originalrechnung des OP einmal so und einmal andersrum machen soll.
> Damit meinte ich wohl: Wenn Normalbereiche vorliegen, so
> dass wir eine der Integrationsvariablen abhängig von einer
> weiteren Größe haben, eben bei Typ 1 y in Abhängigkeit
> von x, so darf man die Integrationsreigenfolge nicht
> einfach tauschen und dabei die Grenzen beibehalten! Nur
> darum geht es.
Aber die Grenzen sind ja in Wahrheit Teil einer Funktion. Aber wenn du darauf hinauswolltest, okay.
> Natürlich darf man die generell tauschen,
> muss aber die Grenzen anpassen. Vielleicht warst du deshalb
> so "verstört"?
Normalerweise nimmt man das Lebesgue-Integral. Und mit dieser Theorie stimmt eigentlich nichts mehr von dem, was du gesagt hast (oder ist eine Trivialitaet, die man wirklich anders ausdruecken sollte).
> > > Generell solltest du aber wirklich wissen, dass ein
> > > Flächenintegral
> > >
> > > [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] ist,
> > > also die nacheinander ausgeführte Integration in zwei
> > > Richtungen.
> >
> > Das ist falsch - wann und wie das geht klaert Fubini.
>
> Das ist definitiv richtig...
Habt ihr das denn etwa so definiert?
> Zudem hat es hier nichts mit
> Fubini zu tun, ich habe lediglich gezeigt, was ein
> Flächenintegral ist,
Kommt drauf an, was man darunter versteht. Ich verstehe erstmal etwas anderes darunter als du - naemlich mit Masstheorie konstruiertes Integral. Damit ist auch [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] im Allgemeinen uebrigens falsch - es gibt Gegenbeispiele!
> er hat in seiner Aufgabe ein Integral
> über ein Gebiet K stehen und das ist ein Doppelintegral
> über x und y.
Per se nicht - mit Fubini berechnet man es aber so.
> Wie gesagt, nach obiger Definition aus meinem Skript hat
> Fubini hier keine Anwendung, wenn ich K so aufstelle, dass
> y abhängig von x ist.
Btw, das schafft man auch bei Rechtecken - einfach drehen  .
> Aber es würde mich sehr
> wundern, wenn es falsch wäre.
Wenn man nicht weiss, dass du das Riemanintegral verwendest, ist die Aussage eben falsch.
SEcki
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 17:41 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Adamantin |
> > Ich rede von Riemann-Integralen
>
> Und diese wurden mittels iterativem Integrieren
> _definiert_?
>
> > aber leider sind mir deine
> > restlichen Ausführungen nicht geläufig,
>
> Jedes Kompakta in der Flaeche passt in ein Rechteck - und
> die zu integrierende Funktion kann man durch 0 fortsetzen
> und hat das gleiche Integral. Also uebertragen sich sofort
> die Eigenschaften vom Rechteck - und mann kann daher auch x
> und y vertauschen. Die Grenzen im Integral kommen ja durch
> Rechnekniffe rein - man kann es immer durch
> charakteristische Funktionen umschreiben.
>
> Variable Ober- und untergenzen muessen natuerlich angepasst
> werden, willst du darauf hinaus?
Ja ;)
>
> > daher hier die
> > Definition aus meiner Vorlesung:
> >
> > Satz 1.3
>
> Hier stimmt was nicht. Satz oder Definition?
Gut aufgepasst, es hat als Überschrift "Satz", ist aber für mich de facto eine Definition, da wir davor nichts haben. Aber stimmt schon.
>
> >
> > Sei [mm]f:\IR^2 -> \IR[/mm] stetig auf [mm][a,b]x[c,d] \subseteq D(f) \subseteq \IR^2[/mm]
> > und [mm]F(x)=\integral_c^d f(x,y)dy[/mm]. Dann gilt:
> > i) [mm]\integral_a^b[/mm] F(x)dx = [mm]\integral_a^b \integral_c^d[/mm]
> > f(x,y) dy dx = [mm]\integral_c^d \integral_a^b[/mm] f(x,y) dx dy$.
> > ii) sagt nur etwas über die Ableitung, brauchen wir
> hier
> > nicht.
> >
> > Ich kann nur von meinem Kenntnisstand ausgehen. Und ich
> > ALLEn Übungen zu diesem Thema, sowie in meinem Skript
> > sowie in Papula Band II wird explizit gesagt, dass man die
> > Integrationsreihenfolge NUR verändern darf, wenn die Ober-
> > und Untergrenzen konstant sind und damit das Intervall,
> > über dem integriert wird, ein Rechteck ist! Wenn dies
> > falsch ist, wusste ich es nicht. (Und verstehe es auch
> > nicht)
>
> Das hoert sich alles nicht sehr sinnig an (Intervall ist
> ein Rechteck ...), aber wenn man die Integrationsgrenzen
> aendert, muss man alles entsprechend anpassen. Gut - das
> hat aber nichts damit zu tun, dass man die Originalrechnung
> des OP einmal so und einmal andersrum machen soll.
Tja, das ist das Problem, ich kenne nur die Riemannsche Summe und kein anderes Integral, daher entschuldige ich mich nochmals, wenn meine Aussagen sogar allg. falsch sind (wie du für Lebesgue) angesprochen hast. Das ist für mich völliges Neuland, dazu kann ich auch leider nichts sagen, außer dass ich dir dann glauben muss und wohl falsch lag.
>
> > Damit meinte ich wohl: Wenn Normalbereiche vorliegen, so
> > dass wir eine der Integrationsvariablen abhängig von einer
> > weiteren Größe haben, eben bei Typ 1 y in Abhängigkeit
> > von x, so darf man die Integrationsreigenfolge nicht
> > einfach tauschen und dabei die Grenzen beibehalten! Nur
> > darum geht es.
>
> Aber die Grenzen sind ja in Wahrheit Teil einer Funktion.
> Aber wenn du darauf hinauswolltest, okay.
Wollte im Grunde nur erklären, dass er, nach meinem Wissensstand, nicht eine Stammfunktion berechnen und dann für dxdy und dydx dieselben Grenzen verwenden kann, solange diese nicht konstant sind, was sie ja (vorläufig ohne TRansformation) bei ihm nicht waren.
>
> > Natürlich darf man die generell tauschen,
> > muss aber die Grenzen anpassen. Vielleicht warst du deshalb
> > so "verstört"?
>
> Normalerweise nimmt man das Lebesgue-Integral. Und mit
> dieser Theorie stimmt eigentlich nichts mehr von dem, was
> du gesagt hast (oder ist eine Trivialitaet, die man
> wirklich anders ausdruecken sollte).
Interessant, werde ich mir sicherlich einmal anschauen, wie gesagt, leider in Mathe II davon nichtsg ehört...
>
> > > > Generell solltest du aber wirklich wissen, dass ein
> > > > Flächenintegral
> > > >
> > > > [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] ist,
> > > > also die nacheinander ausgeführte Integration in zwei
> > > > Richtungen.
> > >
> > > Das ist falsch - wann und wie das geht klaert Fubini.
> >
> > Das ist definitiv richtig...
>
> Habt ihr das denn etwa so definiert?
Haben wir, ja...bzw, zunächst haben wir Parameterintegrale eingeführt, die ja nur nach einer Variable integrieren, und dann haben wir direkt mit Integration über 2-dimensionale Bereiche mittels Normalbereichen losgelegt, wonach eben mit der Definition der Riemannschen Summe die Berechnung von $ [mm] \integral_{I}^{} \integral_{}^{}{f(x,y) dA}) [/mm] = [mm] \integral_{I}^{} \integral_{}^{}{f(x,y) d(x,y)})=lim S_z$ [/mm] folgte und als Berechnung eben genau die Sache mit dem Doppelintegral und dxdy.
>
> > Zudem hat es hier nichts mit
> > Fubini zu tun, ich habe lediglich gezeigt, was ein
> > Flächenintegral ist,
>
> Kommt drauf an, was man darunter versteht. Ich verstehe
> erstmal etwas anderes darunter als du - naemlich mit
> Masstheorie konstruiertes Integral. Damit ist auch
> [mm]\integral f(x,y)dA = \integral \integral f(x,y) dxdy[/mm] im
> Allgemeinen uebrigens falsch - es gibt Gegenbeispiele!
Danke für die Info!
>
> > er hat in seiner Aufgabe ein Integral
> > über ein Gebiet K stehen und das ist ein Doppelintegral
> > über x und y.
>
> Per se nicht - mit Fubini berechnet man es aber so.
Stimmt, er hatte ja auch nur ein Integralszeichen, das ich als Flächenintegral interpretiere....da gibt es bestimmt andere Ansichtne zu (siehe Parameterintegral oder sonstwas ;)) und andere Ansätze.
>
> > Wie gesagt, nach obiger Definition aus meinem Skript hat
> > Fubini hier keine Anwendung, wenn ich K so aufstelle, dass
> > y abhängig von x ist.
>
> Btw, das schafft man auch bei Rechtecken - einfach drehen
> .
>
> > Aber es würde mich sehr
> > wundern, wenn es falsch wäre.
>
> Wenn man nicht weiss, dass du das Riemanintegral
> verwendest, ist die Aussage eben falsch.
Also gut ich gestehe, bin ein Riemannnutzer ;)
>
> SEcki
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 19.09.2011 | | Autor: | frank85 |
zu b.ii)
> Das ist jetzt die Frage. An sich nicht, weil K kein
> Rechteck ist, also musst du die Grenzen neu bestimmen.
> Jetzt haben wir einen Typ 2, weil y fest zwischen [0,1] ist
> und x variabel von y abhängt. Das erkennt man daran, dass
> man zuerst nach x integrieren soll und die innere
> Integration ist die nach der abhängigen Größe.
> Demzufolge müssen wir x durch zwei Funktionen mit y
> ausdrücken. Das geht ganz analog zu meinem obigen Beispiel
> und sollte dir nicht schwerfallen. Also das Ergebnis mag
> natürlich das gleiche sein, aber die Schritte nicht! Und
> du integrierst auch anders! Du setzt ja jetzt andere Werte
> ein.
Wieso kann ich denn nicht folgendes machen:
[mm] \Rightarrow\integral_{-x}^{1}{\integral_{-1}^{0}{yx^2 dydx}}+\integral_{x}^{1}{\integral_{0}^{1}{yx^2 dydx}}
[/mm]
[mm] =\integral_{-x}^{1} {\bruch{1}{3}yx^3 |_{-1}^{0} dy}+\integral_{x}^{1}\bruch{1}{3}yx^3 |_{0}^{1}dy
[/mm]
[mm] =\integral_{-x}^{1} {\bruch{1}{3}y dy}+\integral_{x}^{1}\bruch{1}{3}y [/mm] dy
[mm] =\bruch{1}{6}y^2 |_{-x}^{1}+ \bruch{1}{6} y^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}x^3|_{x}^{1} [/mm]
= [mm] \bruch{-2}{6}x^2
[/mm]
Wieder falsch oder gut so? Danke schön!
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Hallo frank85,
> zu b.ii)
> > Das ist jetzt die Frage. An sich nicht, weil K kein
> > Rechteck ist, also musst du die Grenzen neu bestimmen.
> > Jetzt haben wir einen Typ 2, weil y fest zwischen [0,1] ist
> > und x variabel von y abhängt. Das erkennt man daran, dass
> > man zuerst nach x integrieren soll und die innere
> > Integration ist die nach der abhängigen Größe.
> > Demzufolge müssen wir x durch zwei Funktionen mit y
> > ausdrücken. Das geht ganz analog zu meinem obigen Beispiel
> > und sollte dir nicht schwerfallen. Also das Ergebnis mag
> > natürlich das gleiche sein, aber die Schritte nicht! Und
> > du integrierst auch anders! Du setzt ja jetzt andere Werte
> > ein.
> Wieso kann ich denn nicht folgendes machen:
Weil das äussere Integral keine festen Grenzen hat.
> [mm]\Rightarrow\integral_{-x}^{1}{\integral_{-1}^{0}{yx^2 dydx}}+\integral_{x}^{1}{\integral_{0}^{1}{yx^2 dydx}}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-x}^{1} {\bruch{1}{3}yx^3 |_{-1}^{0} dy}+\integral_{x}^{1}\bruch{1}{3}yx^3 |_{0}^{1}dy[/mm]
>
> [mm]=\integral_{-x}^{1} {\bruch{1}{3}y dy}+\integral_{x}^{1}\bruch{1}{3}y[/mm]
> dy
>
> [mm]=\bruch{1}{6}y^2 |_{-x}^{1}+ \bruch{1}{6} y^2[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{6}x^3|_{x}^{1}[/mm]
> = [mm]\bruch{-2}{6}x^2[/mm]
>
> Wieder falsch oder gut so? Danke schön!
Das ist leider falsch.
Gruss
MathePower
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