Kompakte Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Seien K, L [mm] \subset \IR^{n} [/mm] kompakte Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen kompakt sind:
(i) K [mm] \cap [/mm] L,
(ii) K [mm] \cup [/mm] L,
(iii) K x L:= {(x,y) [mm] \in \IR^{2n} [/mm] | x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] L}.
(iv) K + L := {x+y | x [mm] \in [/mm] K, y [mm] \in [/mm] L} |
Hallo.
Ich muss folgende Aufgabe lösen. Zu (i) habe ich mir folgendes überlegt:
In der VL hatten wir die Definition, dass eine Menge K [mm] \subset [/mm] X (wobei (X,d) metrischer Raum) kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Dies angewendet auf die Aufgabe: Da K kompakt ist enthält also jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Da K [mm] \cap [/mm] L [mm] \subset [/mm] K ist, ist jede offene Überdeckung mit endlicher Teilüberdeckung von K auch eine offene Überdeckung mit endlicher Teilüberdeckung von K [mm] \cap [/mm] L. Somit ist K [mm] \cap [/mm] L kompakt. Stimmt das soweit zur (i)? Falls ja, wie schreibt man das formal richtig auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Sa 10.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien K, L [mm]\subset \IR^{n}[/mm] kompakte Mengen. Zeigen Sie,
> dass die folgenden Mengen kompakt sind:
> (i) K [mm]\cap[/mm] L,
> (ii) K [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L,
> (iii) K x L:= {(x,y) [mm]\in \IR^{2n}[/mm] | x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L}.
> (iv) K + L := {x+y | x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L}
> Hallo.
> Ich muss folgende Aufgabe lösen. Zu (i) habe ich mir
> folgendes überlegt:
> In der VL hatten wir die Definition, dass eine Menge K
> [mm]\subset[/mm] X (wobei (X,d) metrischer Raum) kompakt ist, wenn
> jede offene Überdeckung von K eine endliche
> Teilüberdeckung enthält.
> Dies angewendet auf die Aufgabe: Da K kompakt ist enthält
> also jede offene Überdeckung eine endliche
> Teilüberdeckung. Da K [mm]\cap[/mm] L [mm]\subset[/mm] K ist, ist jede
> offene Überdeckung mit endlicher Teilüberdeckung von K
> auch eine offene Überdeckung mit endlicher
> Teilüberdeckung von K [mm]\cap[/mm] L. Somit ist K [mm]\cap[/mm] L
> kompakt. Stimmt das soweit zur (i)?
Nein.
Eine Überdeckung von K $ [mm] \cap [/mm] $ L ist i.a. keine Überdeckung von K.
Du musst zeigen: jede offene Überdeckung von K $ [mm] \cap [/mm] $ L enthält eine endliche Teilüberdeckung von K $ [mm] \cap [/mm] $ L.
FRED
> Falls ja, wie schreibt
> man das formal richtig auf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Calculu |
> > Seien K, L [mm]\subset \IR^{n}[/mm] kompakte Mengen. Zeigen Sie,
> > dass die folgenden Mengen kompakt sind:
> > (i) K [mm]\cap[/mm] L,
> > (ii) K [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> L,
> > (iii) K x L:= {(x,y) [mm]\in \IR^{2n}[/mm] | x [mm]\in[/mm] K, y
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> L}.
> > (iv) K + L := {x+y | x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> L}
> > Hallo.
> > Ich muss folgende Aufgabe lösen. Zu (i) habe ich mir
> > folgendes überlegt:
> > In der VL hatten wir die Definition, dass eine Menge K
> > [mm]\subset[/mm] X (wobei (X,d) metrischer Raum) kompakt ist, wenn
> > jede offene Überdeckung von K eine endliche
> > Teilüberdeckung enthält.
> > Dies angewendet auf die Aufgabe: Da K kompakt ist
> enthält
> > also jede offene Überdeckung eine endliche
> > Teilüberdeckung. Da K [mm]\cap[/mm] L [mm]\subset[/mm] K ist, ist jede
> > offene Überdeckung mit endlicher Teilüberdeckung von K
> > auch eine offene Überdeckung mit endlicher
> > Teilüberdeckung von K [mm]\cap[/mm] L. Somit ist K [mm]\cap[/mm] L
> > kompakt. Stimmt das soweit zur (i)?
>
>
> Nein.
>
> Eine Überdeckung von K [mm]\cap[/mm] L ist i.a. keine Überdeckung
> von K.
Das wollte ich auch nicht sagen.
>
> Du musst zeigen: jede offene Überdeckung von K [mm]\cap[/mm] L
> enthält eine endliche Teilüberdeckung von K [mm]\cap[/mm] L.
>
Das ist mir klar, und ich dachte ich hätte es auch gezeigt.
Ist denn nicht jede offene Überdeckung von K auch gleichzeitig offene Überdeckung von K [mm] \cap [/mm] L ?
> FRED
>
>
>
>
>
>
> > Falls ja, wie schreibt
> > man das formal richtig auf?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 11.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien K, L [mm]\subset \IR^{n}[/mm] kompakte Mengen. Zeigen Sie,
> > > dass die folgenden Mengen kompakt sind:
> > > (i) K [mm]\cap[/mm] L,
> > > (ii) K [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > L,
> > > (iii) K x L:= {(x,y) [mm]\in \IR^{2n}[/mm] | x [mm]\in[/mm] K, y
> > [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > L}.
> > > (iv) K + L := {x+y | x [mm]\in[/mm] K, y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler: "{"
> > und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> > ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > L}
> > > Hallo.
> > > Ich muss folgende Aufgabe lösen. Zu (i) habe ich
> mir
> > > folgendes überlegt:
> > > In der VL hatten wir die Definition, dass eine Menge
> K
> > > [mm]\subset[/mm] X (wobei (X,d) metrischer Raum) kompakt ist, wenn
> > > jede offene Überdeckung von K eine endliche
> > > Teilüberdeckung enthält.
> > > Dies angewendet auf die Aufgabe: Da K kompakt ist
> > enthält
> > > also jede offene Überdeckung eine endliche
> > > Teilüberdeckung. Da K [mm]\cap[/mm] L [mm]\subset[/mm] K ist, ist jede
> > > offene Überdeckung mit endlicher Teilüberdeckung von K
> > > auch eine offene Überdeckung mit endlicher
> > > Teilüberdeckung von K [mm]\cap[/mm] L. Somit ist K [mm]\cap[/mm] L
> > > kompakt. Stimmt das soweit zur (i)?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Eine Überdeckung von K [mm]\cap[/mm] L ist i.a. keine Überdeckung
> > von K.
>
> Das wollte ich auch nicht sagen.
> >
> > Du musst zeigen: jede offene Überdeckung von K [mm]\cap[/mm] L
> > enthält eine endliche Teilüberdeckung von K [mm]\cap[/mm] L.
> >
> Das ist mir klar, und ich dachte ich hätte es auch
> gezeigt.
>
> Ist denn nicht jede offene Überdeckung von K auch
> gleichzeitig offene Überdeckung von K [mm]\cap[/mm] L ?
Das stimmt, umgekehrt aber nicht.
FRED
> > FRED
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> > > Falls ja, wie schreibt
> > > man das formal richtig auf?
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Hallo. Ich habe vorab eine Frage zu den Begriffen offene Überdeckung und endliche Teilüberdeckung.
Für eine Menge [mm] K=[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm] ist M=(-1,1) eine offene Überdeckung von K. Was ist dann die endliche Teilüberdeckung?
Zur Aufgabe. Kann ich sagen, dass wenn (K [mm] \cap [/mm] L) nicht kompakt wäre, würde es mindestens eine offene Überdeckung geben, die keine endliche Teilüberdeckung enthält, da aber (K [mm] \cap [/mm] L) [mm] \subset [/mm] K gilt, steht dies zum Widerspruch, dass K kompakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Ich habe gerade die Vl wieder durchgelesen. Wir hatten folgendes Lemma:
Ist K [mm] \subset [/mm] X kompakt und A [mm] \subset [/mm] X abgeschlossen mit A [mm] \subset [/mm] K so ist A kompakt.
Jetzt zur Aufgabe: Da K und L kompakt nach Voraussetzung sind sie auch abgeschlossen. Weiter haben wir in der Vl bewiesen, dass der Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Also ist K [mm] \cap [/mm] L abgeschlossen. Da K kompakt und K [mm] \cap [/mm] L abgeschlossen und K [mm] \cap [/mm] L [mm] \subset [/mm] K ist nach diesem Lemma K [mm] \cap [/mm] L kompakt.
Kann ich das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Di 13.05.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, gut gemacht. Und damit ist meine andere Antwort auch obsolet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Di 13.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo. Ich habe vorab eine Frage zu den Begriffen offene
> Überdeckung und endliche Teilüberdeckung.
> Für eine Menge [mm]K=[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm] ist
> M=(-1,1) eine offene Überdeckung von K. Was ist dann die
> endliche Teilüberdeckung?
Die Menge $M$ selber bildet die endliche Teilueberdeckung; denn endliche Ueberdeckeung heisst Ueberdeckung mit endlich vielen Mengen.
>
> Zur Aufgabe. Kann ich sagen, dass wenn (K [mm]\cap[/mm] L) nicht
> kompakt wäre, würde es mindestens eine offene
> Überdeckung geben, die keine endliche Teilüberdeckung
> enthält,
Ja...
> da aber (K [mm]\cap[/mm] L) [mm]\subset[/mm] K gilt, steht dies zum
> Widerspruch, dass K kompakt.
...nein. Wie fred97 bereits sagte: eine Ueberdeckung von [mm] $K\cap [/mm] L$ ist nicht unbedingt eine Ueberdeckung von $K$. Und wenn eine Teilmenge von $K$ nicht die endliche Teilueberdeckungseigenschaft hat, sagt das wenig ueber $K$ selber aus. Z.B. $[0,1]$ ist kompakt, aber $(0,1)$ ist nicht kompakt.
Nun gibt es mehrere Moeglichkeiten fortzfahren: einerseits koenntest Du Dir ueberlegen, wie Du eine Ueberdeckung von [mm] $K\cap [/mm] L$ zu einer von $K$ ergaenzen koenntest, um dann Dein Argument erfolgreich zu Ende zu fuehren. Oder Du schlaegst einen neuen Weg ein. Du hast in Deinem anderen Post einen Satz ueber abgeschlossene Teilmengen zitiert, den Du hier benutzen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Di 13.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank hippias!
Kann man das so aufschreiben oder ist das nicht mathematisch exakt genug?
Nun zur (ii):
Sei [mm] (U_{i})_{i \in I} [/mm] eine offene Überdeckung von K [mm] \cup [/mm] L. Dann ist [mm] (U_{i})_{i \in I} [/mm] auch eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt existiert eine endliche Teilüberdeckung. Weiter ist [mm] (U_{i})_{i \in I} [/mm] auch eine offene Überdeckung von L. Da L kompakt existiert auch hier eine endliche Teilüberdeckung. Da die Vereinigung der endlichen Teilüberdeckungen wieder eine endliche TÜ ist und insbesondere TÜ von K [mm] \cup [/mm] L ist K [mm] \cup [/mm] L kompakt.
Passt das so? Ich bin mit immer bei der Formulierung mit den TÜ unsicher.
Über Tipps würde ich mich freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank hippias!
> Kann man das so aufschreiben oder ist das nicht
> mathematisch exakt genug?
>
> Nun zur (ii):
> Sei [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm] eine offene Überdeckung von K [mm]\cup[/mm]
> L. Dann ist [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm] auch eine offene Überdeckung
> von K. Da K kompakt existiert eine endliche
> Teilüberdeckung. Weiter ist [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm] auch eine
> offene Überdeckung von L. Da L kompakt existiert auch hier
> eine endliche Teilüberdeckung. Da die Vereinigung der
> endlichen Teilüberdeckungen wieder eine endliche TÜ ist
> und insbesondere TÜ von K [mm]\cup[/mm] L ist K [mm]\cup[/mm] L kompakt.
>
> Passt das so? Ich bin mit immer bei der Formulierung mit
> den TÜ unsicher.
Alles bestens
FRED
> Über Tipps würde ich mich freuen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank Fred!
Nun zur (iii):
Ich wähle mir eine Folge [mm] (x_{n},y_{n})_{n \in \IN} \subset [/mm] K x L. Da K kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge [mm] ((x_{n})_{i})_{i \in \IN} [/mm] mit Grenzwert p [mm] \in [/mm] K. Da L kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge [mm] ((y_{n})_{i})_{i \in \IN} [/mm] mit Grenzwert q [mm] \in [/mm] L. Da alle Teilfolgen einer konvergenten Folge gegen den selben Grenzwert konvergieren gilt für die Teilfolgen von [mm] ((x_{n})_{i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(((x_{n})_{i})_{l})_{l \in \IN}=p \in [/mm] K und für alle Teilfolgen von [mm] ((y_{n})_{i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(((y_{n})_{i})_{l})_{l \in \IN}=q \in [/mm] L. Also konvergiert [mm] ((x_{n})_{i})_{l}, (y_{n})_{i})_{l} )_{l \in \IN} [/mm] also Teilfolge von [mm] (x_{n},y_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegen (p,q) [mm] \in [/mm] K x L. Somit ist K x L kompakt.
Stimmt das so?
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Hiho,
deine Notation ist etwas fehlerbehaftet.
Der Grenzwert einer Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n$
[/mm]
Deine Idee ist richtig, schreib das nochmal sauber auf, also in der Form:
Von [mm] (x_n,y_n) [/mm] zu [mm] (x_{n_l},y_{n_l}) [/mm] zu [mm] (x_{n_{l_k}},y_{n_{l_k}})
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 15.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Ich wollte diese ganzen Klammern nicht schreiben, aber ich wusste nicht wie ich es eingeben muss, damit es korekt angezeigt wird.
Also, auf ein neues:
Ich wähle mir eine Folge [mm] (x_{n},y_{n})_{n \in \IN} \subset [/mm] K x L. Da K kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_i})_{i \in \IN} [/mm] mit Grenzwert p [mm] \in [/mm] K. Da L kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_i_l})_{l \in \IN} [/mm] mit Grenzwert q [mm] \in [/mm] L. Da alle Teilfolgen einer konvergenten Folge gegen den selben Grenzwert konvergieren gilt für die Teilfolgen von [mm] (x_{n_i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(x_{n_i_l})_{l \in \IN}=p \in [/mm] K und für alle Teilfolgen von [mm] (y_{n_i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(y_{n_i_l})_{l \in \IN}=q \in [/mm] L. Also konvergiert [mm] (x_{n_i_l}, y_{n_i_l})_{l \in \IN} [/mm] also Teilfolge von [mm] (x_{n},y_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegen (p,q) [mm] \in [/mm] K x L. Somit ist K x L kompakt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Fr 16.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich wollte diese ganzen Klammern nicht schreiben, aber ich
> wusste nicht wie ich es eingeben muss, damit es korekt
> angezeigt wird.
> Also, auf ein neues:
>
> Ich wähle mir eine Folge [mm](x_{n},y_{n})_{n \in \IN} \subset[/mm]
> K x L. Da K kompakt ist, existiert eine konvergente
> Teilfolge [mm](x_{n_i})_{i \in \IN}[/mm] mit Grenzwert p [mm]\in[/mm] K. Da L
> kompakt ist, existiert eine konvergente Teilfolge
> [mm](y_{n_i_l})_{l \in \IN}[/mm] mit Grenzwert q [mm]\in[/mm] L. Da alle
> Teilfolgen einer konvergenten Folge gegen den selben
> Grenzwert konvergieren gilt für die Teilfolgen von
> [mm](x_{n_i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(x_{n_i_l})_{l \in \IN}=p \in[/mm]
> K und für alle Teilfolgen von [mm](y_{n_i})_{i \in \IN}, \limes_{l\rightarrow\infty}(y_{n_i_l})_{l \in \IN}=q \in[/mm]
> L. Also konvergiert [mm](x_{n_i_l}, y_{n_i_l})_{l \in \IN}[/mm] also
> Teilfolge von [mm](x_{n},y_{n})_{n \in \IN}[/mm] gegen (p,q) [mm]\in[/mm] K x
> L. Somit ist K x L kompakt.
Ich denke, dass Du das Richtige meinst, aber korrekt aufgeschrieben hast Du es nicht.
Da K kompakt ist enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k})_k [/mm] mit Grenzwert p [mm] \in [/mm] K.
Da L kompakt ist, enthält [mm] ((y_{n_k})_k [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_{k_l}})_l [/mm] mit Grenzwert q [mm] \in [/mm] L
Da die Teilfolge [mm] (x_{n_{k_l}})_l [/mm] gegen p konvergiert, konvergiert die Teilfolge
[mm] (x_{n_{k_l}},y_{n_{k_l}})_l [/mm] gegen (p,q)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Calculu |
Ja, so hab ich es gemeint und ja, es ist in der Tat etwas komisch aufgeschrieben. Tue mir da immer etwas schwer.
Vielen Dank für deine Antwort! 
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