Kompakte, injektive Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 30.05.2006 | | Autor: | AT-Colt |
| Aufgabe | | Sei X ein normierter Vektorraum und $T [mm] \in [X]_C$. [/mm] Man zeige: Ist $I-T$ injektiv, so ist [mm] $(I-T)^{-1}$ [/mm] stetig. |
[mm] $[X]_{C}$ [/mm] ist die Menge der stetigen, kompakten Operatoren (Abbildungen) von X nach X und $I$ die Identität.
Da ich die letzten Tage mit Fieber im Bett lag und auch noch heute Schwierigkeiten beim Konzentrieren habe, stelle ich die Frage nach einem Tipp bezüglich dieser Aufgabe mal hier rein.
Die Stetigkeit von [mm] $(I-T)^{-1}$ [/mm] bedeutet ja gerade, dass Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen offen (abgeschlossen) sind, was rückwirkend wieder heisst, dass $(I-T)$ eine offene (abgeschlossene) Abbildung ist.
Die Aufgabe ließe sich also auch so formulieren, dass man aus der Injektivität von $I-T$ schließen soll, dass $I-T$ offen oder abgeschlossen ist.
I und T sowie ihre Differenz sind kompakte Operatoren (T ist dies nach Voraussetzung, I lässt sich das leicht ansehen (normierter VR: Heine-Borel: Kompakt = abg. + beschränkt, ist die Startmenge beides, so ist es auch die Zielmenge).
Startet man also mit einer abgeschlossenen und beschränkten Menge A, so ist nach obiger Überlegung auch $(I-T)(A)$ kompakt, insbesondere abgeschlossen.
Leider habe ich noch keine Idee, wie ich zeigen soll, dass auch unbeschränkte, abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abgebildet werden.
Sollte ich im Fieberwahn auf einer ganz falschen Fährte sein, wäre ich für Aufklärung dankbar, auch dem ein oder anderen Tipp wäre ich nicht abgeneigt ^^;
greetz
AT-Colt
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Hallo und guten Morgen,
heisst ''Operator'' denn in diesem Kontext ''linear'' ?
Falls ja: Könnt man dann nicht zu nem abgeschl. [mm] A\subseteq [/mm] X die Menge
[mm] A'=\{a\slash |a|\:\; |\: a\in A\} [/mm]
betrachten, wobei |a| die Norm von a sei ? Das wäre ja eine beschränkte Menge, und sie wäre abgeschlossen, richtig ?
Dann könnt man doch die Kompaktheit von I-T ins Spiel bringen: Das Bild
[mm] \{(a-T(a))\slash |a|\:\;\: |\: a\in A\}
[/mm]
ist dann nämlich wieder kompakt, insbesondere abgeschlossen.
Dann sollte doch auch [mm] \{a-T(a)|a\in A\} [/mm] wieder abgeschlossen sein.
Problem: Scheinbar wäre dann die Injektivität nicht verwandt worden.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:37 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> I und T sowie ihre Differenz sind kompakte Operatoren (T
> ist dies nach Voraussetzung, I lässt sich das leicht
> ansehen (normierter VR: Heine-Borel: Kompakt = abg. +
> beschränkt, ist die Startmenge beides, so ist es auch die
> Zielmenge).
Heine-Borel gilt genau dann, wenn der Raum endlichdimensional ist. Aber dann ist jede lineare Abbildung stetig, womit die ganze Aufgabe witzlos waere. Also folger ich mal dass $X$ nicht (notwendigerweise) endlichdimensional ist. Und wenn $X$ nicht endlichdimensional ist, dann ist $I$ auch nicht kompakt (da die abgeschlossene Einheitskugel dann nie kompakt ist).
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 01.06.2006 | | Autor: | choosy |
> Sei X ein normierter Vektorraum und [mm]T \in [X]_C[/mm]. Man zeige:
> Ist [mm]I-T[/mm] injektiv, so ist [mm](I-T)^{-1}[/mm] stetig.
> [mm][X]_{C}[/mm] ist die Menge der stetigen, kompakten Operatoren
> (Abbildungen) von X nach X und [mm]I[/mm] die Identität.
>
1.) $I$ ist i.A. nich kompakt bzw. gilt
$I kompakt [mm] \Leftrightarrow [/mm] dim [mm] X<\infty$
[/mm]
angenommen [mm] $(I-T)^{-1}$ [/mm] wäre nicht beschränkt, dann ex eine Folge
[mm] $(x_n)\subset [/mm] X$ mit [mm] $\|x_n\|=1$ [/mm] und [mm] $\|(I-T)x_n\|\rightarrow [/mm] 0$, [mm] $n\rightarrow \infty$.
[/mm]
Da diese Folge beschränkt ist und T kompakt folgt das eine Teilfolge [mm] $(x_{n_k})\subset(x_n)$ [/mm] existiert, so dass
[mm] $(Tx_{n_k})$ [/mm] konvergiert.
Damit ist
[mm] $x_{n_k}=Tx_{n_k}+ \underbrace{(I-T)x_{n_k}}_{\rightarrow 0}\rightarrow :x\in [/mm] X$, [mm] $k\rightarrow \infty$
[/mm]
(den grenzwert definieren wir als x, [mm] (I-T)x_{n_k} [/mm] kgt nach 1. Zeile)
Da T stetig ist folgt
$Tx=x$
also gilt $(I-T)x=0$ damit also (I-T) nicht injektiv, da [mm] $\|x\|=1$
[/mm]
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