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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 10.11.2006 | | Autor: | dsan |
| Aufgabe | Sei [mm] \emptyset \not= [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] , f:D [mm] \to \IR [/mm] , f stetig.
Zeige : D kompakt [mm] \gdw [/mm] f nimmt auf D Minimum und Maximum an. |
Hallo an alle,
"D kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] f nimmt auf D Minimum und Maximum an" kann man aus einem Satz von Weierstraß folgern.
Bei "f nimmt auf D Minimum und Maximum an [mm] \Rightarrow [/mm] D kompakt" komme ich jetzt nicht mehr weiter:
Meine Idee war zu zeigen dass f(D) kompakt ist, und dann daraus zu folgern dass auch D kompakt sein muss :
Da f(D)=[min{f(D)},max{f(D)}] beschränkt ist und alle Häufungspunkte enthält, ist f(D) kompakt.
So, und jetzt weiss ich nicht mehr weiter - könnte mir jemand sagen ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin ?
Bin für jeden Tip dankbar.
Viele Grüsse
dsan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Fr 10.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo dsan!
> Sei [mm]\emptyset \not=[/mm] D [mm]\subset \IR[/mm] , f:D [mm]\to \IR[/mm] , f
> stetig.
> Zeige : D kompakt [mm]\gdw[/mm] f nimmt auf D Minimum und Maximum
> an.
Wenn $f$ eine beliebige Funktion ist, dann ist die Aussage schlichtweg falsch: Nimm $f = 1$. Dann nimmt $f$ auf jedem nicht-leeren $D$ Minimum und Maximum an, insbesondere auch auf nicht-kompakten Mengen $D$.
Meinst du vielleicht ein spezielles $f$, oder etwa die Aussage ``$D$ ist kompakt genau dann, wenn alle stetigen Funktionen $f : D [mm] \to \IR$ [/mm] auf $D$ Minimum und Maximum annehmen.''?
> Meine Idee war zu zeigen dass f(D) kompakt ist, und dann
> daraus zu folgern dass auch D kompakt sein muss :
>
> Da f(D)=[min{f(D)},max{f(D)}] beschränkt ist und alle
> Häufungspunkte enthält, ist f(D) kompakt.
>
> So, und jetzt weiss ich nicht mehr weiter - könnte mir
> jemand sagen ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin ?
Wenn $f$ nicht eine spezielle Form hat, bringt dir das nichts.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 10.11.2006 | | Autor: | dsan |
Hallo Felix,
sorry Du hast recht - es soll heissen "... genau dann, wenn alle stetigen Funktionen $ f : D [mm] \to \IR [/mm] $ auf D Minimum und Maximum annehmen" !
Eine zündende Idee hab ich leide immer noch nicht.
Vielen Dank für Deinen schnelle Antwort.
viele Grüsse
dsan
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Hallo,
nimm dir doch die kontraposition der aussage:
$D$ nicht kompakt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt eine funktion [mm] $f:D\to \IR$ [/mm] die nicht auf D ihre extrema annimmt.
Da [mm] $D\subset \IR^n$ [/mm] ist, ist D also offen und/oder unbeschraenkt. Ich wuerde mir jetzt fuer alle moeglichen faelle stetige funktionen konstruieren, die nicht auf der Menge ihre extrema annehmen.
Gruss
Matthias
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