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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 So 21.05.2006 | | Autor: | Kalita |
| Aufgabe | Sei X ein metrischer Raum und A enthalten in X. Eine Abb. f:A nach /R heißt global beschränkt, falls ihre Wertemenge f(A) enthalten in /R beschränkt ist. Sie heißt lokal beschränkt, falls jeder Punkt aus A eine bzgl der Relativtopologie offene Umgebung U enthalten in A besitzt, so dass die Einschränkung von f auf U beschränkt ist.
Zeigen Sie, Ist A kompakt, so ist jede lokal beschränkte Funktion f:A nach /R beschränkt |
Ich verstehe die Aufgabe nicht, und es wäre toll, wenn mir jemand dazu noch den Hintergrund erklärt. Weil es bringt mir nichts nur die Aufgabe zu haben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 21.05.2006 | | Autor: | choosy |
hallo erstmal
> Sei X ein metrischer Raum und A enthalten in X. Eine Abb.
> f:A nach /R heißt global beschränkt, falls ihre Wertemenge
> f(A) enthalten in /R beschränkt ist. Sie heißt lokal
das sollte soweit noch klar sein.
> beschränkt, falls jeder Punkt aus A eine bzgl der
> Relativtopologie offene Umgebung U enthalten in A besitzt,
> so dass die Einschränkung von f auf U beschränkt ist.
> Zeigen Sie, Ist A kompakt, so ist jede lokal beschränkte
> Funktion f:A nach /R beschränkt
das heist wenn ich lokal gucke (also immer nur auf kleinen umgebungen von punkten) ist f beschränkt...
der witz an der aufgabe ist nun folgender:
1. du kannst A mit offenen kugeln überdecken
$A= [mm] \bigcup_{x\in A} B_{\varepsilon_x}(x)$
[/mm]
und zwar derart, das
[mm] $f|_{B_{\varepsilon_x}(x)}$ [/mm] beschränkt ist
nun kannst du weil A kompakt ist daraus eine endlich teileüberdeckung wählen
$A= [mm] \bigcup_{i=1}^n B_{\varepsilon_i}(x_i)$
[/mm]
damit kannst du dir angucken was $f(A)$ ist...
> Ich verstehe die Aufgabe nicht, und es wäre toll, wenn mir
> jemand dazu noch den Hintergrund erklärt. Weil es bringt
> mir nichts nur die Aufgabe zu haben
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
was den hintergrund angeht... mir fällt grad nichts ein wo ich soetwas gebraucht hätte, aber ihr habt doch bestimmt tutorien o.ä.
ansonsten könntest du ein wenig konkreter fragen, vielleicht fällt mir dann mehr ein.
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