Kompaktheit in metr. Räumen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR,d) [/mm] mit d(x,y):= |arctan(x) - arctan(y)| ein metrischer Raum.
Geben Sie eine abgeschlossene und beschränkte Menge in [mm] (\IR,d) [/mm] an, welche nicht kompakt ist. |
Hallo,
obige vermeintlich einfache Aufgabe überfordert mich etwas.
Beschränktheit ist meines Erachtens klar, da der arctan(x) beschränkt ist. Deshalb ist auch jede Teilmenge von [mm] \IR [/mm] bezüglich der Metrik d beschränkt.
Abgeschlossenheit:
Hier hätte ich gesagt, jede Folge [mm] x_n, [/mm] die in [mm] \IR [/mm] bzgl. der Betragsmetrik konvergiert,ist auch bzgl. d konvergent mit lim [mm] x_n \in ]-\pi/2,\pi/2[.
[/mm]
Nun zur Kompaktheit:
Nach einem Satz aus unserer Vorlesung gilt:
[mm] (\IR,d) [/mm] kompakt <=> Jede Folge in [mm] \IR [/mm] hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in [mm] \IR.
[/mm]
Angenommen ich habe eine beschränkte und abgeschlossene Menge A.
Dann muss jeder Häufungspunkt von A in A liegen. D.h jede konvergente Teilfolge konvergiert in A.
Also suche ich eine Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] die keine konvergente Teilfolge hat.
Also muss jede Teilfolge, insbesondere [mm] a_n [/mm] selbst, divergieren.
Damit [mm] a_n [/mm] divergiert muss, denke ich, gelten lim [mm] arctan(a_n) [/mm] = [mm] |\pi/2|. [/mm] Dann wäre aber A nicht mehr abgeschlossen
Offensichtlich habe ich einen Denkfehler.
Weiter weiß ich nicht, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 18.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](\IR,d)[/mm] mit d(x,y):= |arctan(x) - arctan(y)| ein
> metrischer Raum.
> Geben Sie eine abgeschlossene und beschränkte Menge in
> [mm](\IR,d)[/mm] an, welche nicht kompakt ist.
> Hallo,
> obige vermeintlich einfache Aufgabe überfordert mich
> etwas.
>
> Beschränktheit ist meines Erachtens klar, da der arctan(x)
> beschränkt ist. Deshalb ist auch jede Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
> bezüglich der Metrik d beschränkt.
Na ja......
Du sollst doch eine konkrete Menge ,nennen wir sie A, angeben, die bezüglich d beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt ist.
> Abgeschlossenheit:
> Hier hätte ich gesagt, jede Folge [mm]x_n,[/mm] die in [mm]\IR[/mm] bzgl.
> der Betragsmetrik konvergiert,ist auch bzgl. d konvergent
> mit lim [mm]x_n \in ]-\pi/2,\pi/2[.[/mm]
das ist zwar richtig, aber die gesuchte Menge A haben wir immer noch nicht .... !
> Nun zur Kompaktheit:
> Nach einem Satz aus unserer Vorlesung gilt:
> [mm](\IR,d)[/mm] kompakt <=> Jede Folge in [mm]\IR[/mm] hat eine konvergente
> Teilfolge mit Grenzwert in [mm]\IR.[/mm]
> Angenommen ich habe eine beschränkte und abgeschlossene
> Menge A.
> Dann muss jeder Häufungspunkt von A in A liegen. D.h jede
> konvergente Teilfolge konvergiert in A.
ja,das liegt an der Abgeschlossenheit. ....
> Also suche ich eine Folge [mm]a_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] die keine konvergente
> Teilfolge hat.
> Also muss jede Teilfolge, insbesondere [mm]a_n[/mm] selbst,
> divergieren.
> Damit [mm]a_n[/mm] divergiert muss, denke ich, gelten lim
> [mm]arctan(a_n)[/mm] = [mm]|\pi/2|.[/mm] Dann wäre aber A nicht mehr
> abgeschlossen
> Offensichtlich habe ich einen Denkfehler.
Wie gesagt, wir suchen eine konkrete Menge A mit den oben genannten Eigenschaften......
Tipp: versuche es mal mit [mm] A=\IR
[/mm]
fred
> Weiter weiß ich nicht, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> LG
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 18.05.2016 | | Autor: | Manu271 |
Vielen Dank für die Antwort.
Du hast recht, wirklich auf die Aufgabe bezogen habe ich mich nicht.
Liegt wahrscheinlich daran, das ich den Begriff der Kompaktheit noch nicht verstanden habe.
Dann greife ich mal deinen Tipp auf.
Also untersuche [mm] \IR [/mm] auf Kompaktheit, denn Beschränktheit und Abgeschlossenheit ist klar:
Angenommen [mm] \IR [/mm] ist kompakt.
Dann gilt: Jede Folge [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] hat eine konvergente Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} \in \IR.
[/mm]
Wähle z. B. die Folge [mm] a_n [/mm] :=n mit n [mm] \in \IN. [/mm] Dies ist eine Folge in [mm] \IR. [/mm] Der einzige Häufungspunkt von [mm] a_n [/mm] ist [mm] \infty [/mm] (wegen der Metrik d) und das liegt nicht in [mm] \IR. [/mm] Dann hat [mm] a_n [/mm] keine konvergente Teilfolge [mm] a_{n_k} [/mm] mit lim [mm] a_{n_k} \in \IR. [/mm] Des Weiteren gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} arctan(a_n) [/mm] = [mm] \pi/2.
[/mm]
Daraus folgt [mm] \IR [/mm] ist nicht kompakt.
Wäre das korrekt?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:39 Do 19.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort.
> Du hast recht, wirklich auf die Aufgabe bezogen habe ich
> mich nicht.
> Liegt wahrscheinlich daran, das ich den Begriff der
> Kompaktheit noch nicht verstanden habe.
> Dann greife ich mal deinen Tipp auf.
> Also untersuche [mm]\IR[/mm] auf Kompaktheit, denn Beschränktheit
> und Abgeschlossenheit ist klar:
Tatsächlich ..... ? Schreibs mal ordentlich auf...
> Angenommen [mm]\IR[/mm] ist kompakt.
> Dann gilt: Jede Folge [mm]x_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] hat eine konvergente
> Teilfolge [mm]x_{n_k}[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} \in \IR.[/mm]
>
> Wähle z. B. die Folge [mm]a_n[/mm] :=n mit n [mm]\in \IN.[/mm] Dies ist eine
> Folge in [mm]\IR.[/mm] Der einzige Häufungspunkt von [mm]a_n[/mm] ist [mm]\infty[/mm]
> (wegen der Metrik d) und das liegt nicht in [mm]\IR. [/mm]
Ich fürchte, Dir ist immer noch nicht klar, dass es um die Metrik d geht.
Wäre [mm] \IR [/mm] bezüglich der Metrik d kompakt, so müsste es zur Folge [mm] (x_n)=(n) [/mm] eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] und ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] geben mit
[mm] d(x_{n_k},x_0) \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Zeige, dass das nicht geht.
FRED
> Dann hat
> [mm]a_n[/mm] keine konvergente Teilfolge [mm]a_{n_k}[/mm] mit lim [mm]a_{n_k} \in \IR.[/mm]
> Des Weiteren gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} arctan(a_n)[/mm] =
> [mm]\pi/2.[/mm]
> Daraus folgt [mm]\IR[/mm] ist nicht kompakt.
> Wäre das korrekt?
>
> LG
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 20.05.2016 | | Autor: | Manu271 |
Gut, dann gehe ich mal Schritt für Schritt vor.
Zur Beschränktheit von [mm] \IR:
[/mm]
Es gilt für alle x,y [mm] \in \IR: [/mm] d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| [mm] <\pi [/mm]
Also ist [mm] \IR [/mm] z.B durch [mm] \pi [/mm] beschränkt.
Zur Abgeschlossenheit:
[mm] \IR [/mm] ist abgeschlossen wenn das Komplement [mm] \IR^c [/mm] offen ist.
[mm] \IR^c [/mm] = [mm] \IR \setminus \IR [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Da in jeder Topologie, insbesondere in der von d erzeugten, [mm] \emptyset [/mm] enthalten sein muss, ist [mm] \emptyset [/mm] offen.
Zur Kompaktheit:
Angenommen [mm] \IR [/mm] ist kompakt.
Dann muss jede Folge [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] besitzen.
Sei [mm] x_n [/mm] = (n).
Da [mm] \IR [/mm] kompakt ist, gibt es die konvergente Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] und es gilt mit [mm] x_0 \in \IR:
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} d(x_{n_k},x_0) =\limes_{k\rightarrow\infty} |arctan(x_{n_k})-arctan(x_0)|=0.
[/mm]
Nun ist aber [mm] arctan(x_0) [/mm] < [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] da [mm] x_0 \in \IR
[/mm]
Weiter ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} arctan((x_{n_k}) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Dadurch strebt obige Differenz nicht gegen Null, sondern gegen eine positive reelle Zahl.
Also kann die Teilfolge nicht gegen [mm] x_0 \in \IR [/mm] konvergieren.
Also ist [mm] \IR [/mm] nicht kompakt.
Eine Frage habe ich noch:
Was man wird allgemein bei dem Grenzwert einer Teilfolge von [mm] x_n [/mm] betrachtet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} [/mm] oder [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_{n_k} [/mm] ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Sa 21.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Gut, dann gehe ich mal Schritt für Schritt vor.
>
> Zur Beschränktheit von [mm]\IR:[/mm]
> Es gilt für alle x,y [mm]\in \IR:[/mm]
> d(x,y)=|arctan(x)-arctan(y)| [mm]<\pi[/mm]
> Also ist [mm]\IR[/mm] z.B durch [mm]\pi[/mm] beschränkt.
>
> Zur Abgeschlossenheit:
> [mm]\IR[/mm] ist abgeschlossen wenn das Komplement [mm]\IR^c[/mm] offen
> ist.
> [mm]\IR^c[/mm] = [mm]\IR \setminus \IR[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> Da in jeder Topologie, insbesondere in der von d
> erzeugten, [mm]\emptyset[/mm] enthalten sein muss, ist [mm]\emptyset[/mm]
> offen.
>
> Zur Kompaktheit:
> Angenommen [mm]\IR[/mm] ist kompakt.
> Dann muss jede Folge [mm]x_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] eine konvergente Teilfolge
> [mm]x_{n_k}[/mm] besitzen.
> Sei [mm]x_n[/mm] = (n).
> Da [mm]\IR[/mm] kompakt ist, gibt es die konvergente Teilfolge
> [mm]x_{n_k}[/mm] und es gilt mit [mm]x_0 \in \IR:[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} d(x_{n_k},x_0) =\limes_{k\rightarrow\infty} |arctan(x_{n_k})-arctan(x_0)|=0.[/mm]
>
> Nun ist aber [mm]arctan(x_0)[/mm] < [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm] da [mm]x_0 \in \IR[/mm]
>
> Weiter ist [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} arctan((x_{n_k})[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> Dadurch strebt obige Differenz nicht gegen Null, sondern
> gegen eine positive reelle Zahl.
> Also kann die Teilfolge nicht gegen [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> konvergieren.
> Also ist [mm]\IR[/mm] nicht kompakt.
Kann man so lassen.
Bis auf eines: eine Folge schreibt sich so: [mm] (x_n).
[/mm]
[mm] x_n [/mm] ist das n-te Folgenglied von [mm] (x_n).
[/mm]
>
>
>
> Eine Frage habe ich noch:
> Was man wird allgemein bei dem Grenzwert einer Teilfolge
> von [mm]x_n[/mm] betrachtet:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k}[/mm] oder
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n_k}[/mm] ?
Natürlich
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_{n_k}[/mm] .
Schau Dir die def. des Begriffs "Teilfolge" nochmal an !
FRED
>
> LG
>
|
|
|
|
